WikiSort.ru - Не сортированное

Случай одинаково распределённых величин

Пусть дана бесконечная последовательность ${\displaystyle X_{n}}$ независимых одинаково распределённых случайных величин таких, что ${\displaystyle M(X_{n})=0,M(X_{n}^{2})=\sigma ^{2}>0,M(|X_{n}^{3}|)=\rho <\infty }$ . Обозначим через ${\displaystyle F_{n}}$ распределение суммы вида ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}/\left(\sigma {\sqrt {n}}\right)}$ . Тогда для всех ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \left|F_{n}(x)-{\mathcal {N}}(x)\right|\leq {\frac {C\rho }{\sigma ^{3}{\sqrt {n}}}}}$ ,

где ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ обозначает стандартное нормальное распределение, а ${\displaystyle C}$  — это некоторая константа, значение которой продолжает уточняться. По последним данным, ${\displaystyle C<0.4784}$ .^[1]

Разнораспределённые случайные величины

Похожий результат можно получить и в случае, когда слагаемые распределены различно. Пусть ${\displaystyle X_{k}}$  — это независимые случайные величины, ${\displaystyle M(X_{k})=0,M(X_{k}^{2})=\sigma _{k}^{2},M(|X_{k}^{3}|)=\rho _{k}}$ . Введём обозначения: ${\displaystyle s_{n}^{2}=\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2},r_{n}=\sum _{i=1}^{n}\rho _{i}}$ . Обозначим через ${\displaystyle F_{n}}$ распределение случайной величины вида ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}/s_{n}}$ . Тогда для всех ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \left|F_{n}(x)-{\mathcal {N}}(x)\right|\leq C{\frac {r_{n}}{s_{n}^{3}}}}$ .