WikiSort.ru - Не сортированное

Угловое ускорение
${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}={\boldsymbol {\dot {\omega }}}}$
Единицы измерения
СИ	рад/с2
СГС	рад/с2
Примечания
псевдовектор

Угловое ускорение - псевдовекторная физическая величина, равная первой производной от псевдовектора угловой скорости по времени

${\displaystyle {\vec {\varepsilon }}={\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}}$

Угловое ускорение характеризует интенсивность изменения модуля и направления угловой скорости при движении твёрдого тела.

Как приходят к понятию углового ускорения: ускорение точки твердого тела при свободном движении

К понятию углового ускорения можно прийти, рассматривая вычисление ускорения точки твердого тела, совершающего свободное движение. Скорость точки тела ${\displaystyle B}$ при свободном движении, согласно формуле Эйлера, равна

${\displaystyle {\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}+{\vec {\omega }}\times {\vec {AB}}}$

где ${\displaystyle {\vec {v}}_{A}}$ - скорость точки тела ${\displaystyle A}$ , принятой в качестве полюса; ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ - псевдовектор угловой скорости тела; ${\displaystyle {\vec {AB}}}$ - вектор, выпущенный из полюса в точку, скорость которой вычисляется. Дифференцируя по времени данное выражение, имеем

где ${\displaystyle {\vec {a}}_{A}}$ - ускорение полюса ${\displaystyle A}$ ; ${\displaystyle {\vec {\varepsilon }}={\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}}$ - псевдовектор углового ускорения. Составляющая ускорения точки ${\displaystyle B}$ , вычисляемая через угловое ускорение называется вращательным ускорением точки ${\displaystyle B}$ вокруг полюса ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\vec {a}}_{BA}^{\,rot}={\vec {\varepsilon }}\times {\vec {AB}}}$

Последнее слагаемое в полученной формуле, зависящее от угловой скорости, называют осестремительным ускорением ускорением точки ${\displaystyle B}$ вокруг полюса ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\vec {a}}_{BA}^{\,axis}={\vec {\omega }}\times \left({\vec {\omega }}\times {\vec {AB}}\right)}$

Геометрический смысл псевдовектора углового ускорения

Псевдовектор ${\displaystyle {\vec {\varepsilon }}}$ направлен по касательной к годографу угловой скорости. Действительно, рассмотрим два значения вектора угловой скорости, в момент времени ${\displaystyle t}$ и в момент времени ${\displaystyle t+\Delta t}$ . Оценим изменение угловой скорости за рассматриваемый промежуток времени ${\displaystyle \Delta t}$

${\displaystyle \Delta {\vec {\omega }}={\vec {\omega }}(t+\Delta t)-{\vec {\omega }}(t)}$

Отнесем это изменение к тому промежутку времени, за которое оно произошло

${\displaystyle {\frac {\Delta {\vec {\omega }}}{\Delta t}}={\vec {\varepsilon }}^{\,\,'}}$

Получившийся вектор называется вектором среднего углового ускорения. Он занимает положение секущей, пересекая годограф вектора угловой скорости в точках ${\displaystyle M_{0}}$ и ${\displaystyle M_{1}}$ . Перейдем к пределу при ${\displaystyle \Delta t\to 0}$

${\displaystyle \lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta {\vec {\omega }}}{\Delta t}}={\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}={\vec {\varepsilon }}}$

Вектор среднего углового ускорения перейдет в вектор мгновенного углового ускорения и займет положение касательной в точке ${\displaystyle M_{0}}$ к годографу угловой скорости.

Выражение вектора углового ускорения через параметры конечного поворота

При рассмотрении вращения тела через параметры конечного поворота, вектор углового ускорения можно расписать формулой

${\displaystyle {\vec {\varepsilon }}=\left(1-\cos \varphi \right)\left({\vec {u}}\times {\frac {d^{2}{\vec {u}}}{dt^{2}}}\right)+{\dot {\varphi }}\left(1+\cos \varphi \right){\frac {d{\vec {u}}}{dt}}+{\dot {\varphi }}\sin \varphi \left({\vec {u}}\times {\frac {d{\vec {u}}}{dt}}\right)+\sin \varphi \,{\frac {d^{2}{\vec {u}}}{dt^{2}}}+{\ddot {\varphi }}\,{\vec {u}}}$

где ${\displaystyle {\vec {u}}}$ - орт, задающий направление оси поворота; ${\displaystyle \varphi }$ - угол, на который совершается поворот вокруг оси ${\displaystyle {\vec {u}}}$ .

Угловое ускорение при вращении тела вокруг неподвижной оси

При вращении тела вокруг неподвижной оси, проходящей через неподвижные точки тела ${\displaystyle O_{1}}$ и ${\displaystyle O_{2}}$ , производные орта оси вращения равны нулю

${\displaystyle {\frac {d{\vec {u}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {u}}}{dt^{2}}}=0}$

В этом случае вектор углового ускорения определяется тривиально через вторую производную угла поворота

${\displaystyle {\vec {\varepsilon }}={\ddot {\varphi }}\,{\vec {u}}}$

или

${\displaystyle {\vec {\varepsilon }}=\varepsilon \,{\vec {u}}}$

где ${\displaystyle \varepsilon ={\ddot {\varphi }}}$ - алгебраическая величина углового ускорения. В этом случае псевдовектор углового ускорения, как и угловая скорость, направлен вдоль оси вращения тела. Если первая и вторая производные угла поворота имеют одинаковый знак

${\displaystyle {\dot {\varphi }}\,{\ddot {\varphi }}>0}$

то вектор углового ускорения и вектор угловой скорости совпадают по направлению (тело вращается ускоренно). В противном случае, при ${\displaystyle {\dot {\varphi }}\,{\ddot {\varphi }}<0}$ , векторы угловой скорости и углового ускорения направлены в противоположные стороны (тело вращается замедленно).

В курсе теоретической механики традиционным является подход, при котором понятие угловой скорости и углового ускорения вводится при рассмотрении вращения тела вокруг неподвижной оси. При этом в качестве закона движения рассматривается зависимость от времени угла поворота тела

${\displaystyle \varphi =\varphi (t)}$

В этом случае закон движения точки тела может быть выражен естественным способом, как длина дуги окружности, пройденная точкой при повороте тела от некоторого начального положения ${\displaystyle \varphi _{0}=\varphi (t_{0})}$

${\displaystyle s(t)=R\,\left(\varphi (t)-\varphi _{0}\right)}$

где ${\displaystyle R}$ - расстояние от точки до оси вращения (радиус окружности, по которой движется точка). Дифференцируя последнее соотношение по времени получаем алгебраическую скорость точки

${\displaystyle {\frac {ds}{dt}}=v_{\tau }=R\,{\frac {d\varphi }{dt}}=\omega \,R}$

где ${\displaystyle \omega ={\frac {d\varphi }{dt}}}$ - алгебраическая величина угловой скорости. Ускорение точки тела при вращении может быть представлено как геометрическая сумма тангенциального и нормального ускорения

${\displaystyle {\vec {a}}_{M}={\vec {a}}_{M}^{\,\tau }+{\vec {a}}_{M}^{\,n}}$

причем тангенциальное ускорение получается как производная от алгебраической скорости точки

${\displaystyle a_{M}^{\,\tau }={\frac {dv_{\tau }}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(\omega \,R\right)=R\,{\frac {d\omega }{dt}}=\varepsilon \,R}$

где ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {d\omega }{dt}}={\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}}$ - алгебраическая величина углового ускорения. Нормальное ускорение точки тела может быть вычислено по формулам

${\displaystyle a_{M}^{\,n}={\frac {v_{\tau }^{2}}{R}}=\omega ^{2}\,R}$

Выражение псевдовектора углового ускорения через тензор поворота тела

Если поворот твёрдого тела задан тензором ранга ${\displaystyle \left(1,\,1\right)}$ (линейным оператором), выраженным, например, через параметры конечного поворота

${\displaystyle B_{\,m}^{\,p}=\left(1-\cos \varphi \right)\,u^{\,p}\,u_{\,m}+\cos \varphi \,\delta _{\,m}^{\,p}+\sin \varphi \,g^{\,pl}\,\epsilon _{\,lkm}\,u^{\,k}}$

где ${\displaystyle \delta _{\,m}^{\,p}}$ - символ Кронекера; ${\displaystyle \epsilon _{\,lkj}}$ - тензор Леви-Чивиты, то, псевдовектор углового ускорения может быть вычислен по формуле

${\displaystyle \varepsilon ^{\,i}={\frac {1}{2}}\,\epsilon ^{ikl}\,g_{\,lp}\,\left(B_{\,m}^{'\,p}\,{\ddot {B}}_{\,k}^{\,m}+{\dot {B}}_{\,m}^{'\,p}\,{\dot {B}}_{\,k}^{\,m}\right)}$

где ${\displaystyle B_{\,m}^{'\,p}}$ - тензор обратного преобразования, равный

${\displaystyle B_{\,m}^{'\,p}=\left(1-\cos \varphi \right)\,u^{\,p}\,u_{\,m}+\cos \varphi \,\delta _{\,m}^{\,p}-\sin \varphi \,g^{\,pl}\,\epsilon _{\,lkm}\,u^{\,k}}$

Литература

1. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики - 10-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1986 - 416 С.
2. Погорелов Д. Ю. Введение в моделирование динамики систем тел: Учебное пособие. - Брянск: БГТУ, 1997. - 197 С.