Парадо́кс дней рожде́ния. В группе, состоящей из 23 или более человек, вероятность совпадения дней рождения (число и месяц) хотя бы у двух людей превышает 50 %. Например, если в классе 23 ученика или более, то более вероятно то, что у кого-то из одноклассников дни рождения придутся на один день, чем то, что у каждого будет свой неповторимый день рождения.
Для 60 и более человек вероятность такого совпадения превышает 99 %, хотя 100 % она достигает, согласно принципу Дирихле (здравому смыслу), только тогда, когда в группе не менее 367 человек (ровно на 1 больше, чем число дней в високосном году; с учётом високосных лет).
Такое утверждение может показаться неочевидным, так как вероятность совпадения дней рождения двух человек с любым днём в году (1/365 = 0,27 %), умноженная на число человек в группе (23), даёт лишь (1/365)×23 = 6,3 %. Это рассуждение неверно, так как число возможных пар (( 23 × 22 )/2 = 253) значительно превышает число человек в группе (253 > 23).
В группе из 23 человек вероятность совпадения дней рождения у двух человек столь высока, потому что рассматривается вероятность совпадения дней рождения у любых двух человек в группе. Эта вероятность определяется количеством пар людей, которые можно составить из 23 человек. Так как порядок людей в парах не имеет значения, общее число таких пар равно числу сочетаний из 23 по 2, то есть ( 23 × 22 )/2 = 253 пары.
В формулировке парадокса речь идёт именно о совпадении дней рождения у каких-либо двух членов группы. Одно из распространённых заблуждений состоит в том, что этот случай путают с другим случаем, на первый взгляд похожим, когда из группы выбирается один человек, и оценивается вероятность того, что день рождения каких-либо других членов группы совпадёт с днём рождения выбранного человека. В последнем случае вероятность совпадения значительно ниже.
Требуется определить вероятность того, что в группе из n человек как минимум у двух из них дни рождения совпадут.
Пусть дни рождения распределены равномерно, то есть примем, что:
В действительности это не совсем так. Кроме того, в некоторых странах из-за особенностей работы больниц больше детей рождается в определённые дни недели. Однако неравномерность распределения может лишь увеличить вероятность совпадения дней рождения, но не уменьшить: если бы все люди рождались только в 3 дня из 365, то вероятность совпадения дней рождения была бы очень высокой.
Рассчитаем сначала — вероятность того, что в группе из человек дни рождения всех людей будут различными. Если , то в силу принципа Дирихле вероятность равна нулю. Если же , то будем рассуждать следующим образом. Возьмём наугад одного человека из группы и запомним его день рождения. Затем возьмём наугад второго человека, при этом вероятность того, что у него день рождения не совпадёт с днем рождения первого человека, равна . Затем возьмём третьего человека; при этом вероятность того, что его день рождения не совпадёт с днями рождения первых двух, равна . Рассуждая по аналогии, мы дойдём до последнего человека, для которого вероятность несовпадения его дня рождения со всеми предыдущими будет равна . Перемножая все эти вероятности, получаем вероятность того, что все дни рождения в группе будут различными:
Тогда вероятность того, что хотя бы у двух человек из n дни рождения совпадут, равна
Значение этой функции превосходит 1/2 при , при этом вероятность совпадения равна примерно 50,73 %, а . Список значений n и соответствующих им вероятностей приведён в следующей таблице.
n | p(n) | |
---|---|---|
10 | 12 % | |
20 | 41 % | |
30 | 70 % | |
50 | 97 % | |
100 | 99,99996 % | |
200 | 99,9999999999999999999999999998 % | |
300 | ( 1 − 7×10−73 ) × 100 % | |
350 | ( 1 − 3×10−131 ) × 100 % | |
367 | 100 % |
Данную задачу можно переформулировать в терминах классической «задачи о совпадениях». Пусть:
Требуется посчитать вероятность события, заключающегося в отсутствии повторений в выборке. Все расчёты аналогичны приведённым выше.
Вероятность совпадения дней рождения у двух человек, входящих в группу из n людей, можно также рассчитать с использованием формул комбинаторики. Представим, что каждый день года — это одна буква в алфавите, и алфавит состоит из 365 букв. Дни рождения n человек могут быть представлены строкой, состоящей из n букв такого алфавита. По формуле Хартли, количество возможных строк равно
Количество возможных строк, в которых буквы не повторяются (размещение из 365 по n), составит
Если строки выбираются случайно (с равномерным распределением), вероятность выбора строки, в которой хотя бы две буквы совпадут, равна
Поскольку
а это выражение эквивалентно представленному выше.
Используя разложение экспоненциальной функции в ряд Тейлора
приведённое выше выражение для можно аппроксимировать следующим образом:
Следовательно:
Заметим, что и упрощенная аппроксимация
как видно по графику, всё ещё даёт достаточную точность.
Приведём ещё одну аппроксимацию.
Вероятность того, что у двух людей дни рождения не совпадают, равна 364/365. В группе из человек пар. Поэтому вероятность при условии независимости этих событий может быть приближена числом
Следовательно, получаем приближение для искомой вероятности p(n):
Используя приближение Пуассона для бинома, исходя из предыдущего приближения для , получим чуть больше 50 %:
Из приведённой ранее формулы для p(n)[какой?] выразим n. Затем вместо p(n) подставим 50 % (0,5). В результате получим:
Существует ещё один способ оценки n при вероятности 50 %. Согласно доказанному выше:
Найдём наименьшее n, при котором
или, что то же самое:
Воспользуемся приведённой выше аппроксимацией функции экспоненциальной функцией:
Подставив вместо в выражение , получим:
Решая относительно n, получим:
Отсюда найдём n и округлим до целого:
Сравним вероятность p(n) с вероятностью того, что в группе из n человек день рождения какого-либо человека из группы совпадёт с днём рождения некоторого заранее выбранного человека, не принадлежащего группе. Эта вероятность равна
Подставляя n = 23, получаем q(n) ≈ 6,12 %. Для того, чтобы вероятность q(n) превысила 50 %, число людей в группе должно быть не менее 253 (q(252) ≈ 49,91 %; q(253) ≈ 50,05 %). Это число больше, чем половина дней в году (365/2 = 182,5); так происходит из-за того, что у остальных членов группы дни рождения могут совпадать между собой, и это уменьшает вероятность q(n).
Описанная задача может быть сформулирована в общем виде:
Если рассуждать таким же образом, как описано выше, можно получить общие решения:
Обратная задача:
Решение:
Выше парадокс дней рождения был представлен для одного «типа» людей. Можно обобщить задачу, введя несколько «типов», например, разделив людей на мужчин (m) и женщин (n). Подсчитаем вероятность того, что хотя бы у одной женщины и у одного мужчины совпадают дни рождения (совпадение дней рождения у двух женщин или у двух мужчин не учитываются):
где d = 365 и S2() — числа Стирлинга второго рода. Интересно, что нет однозначного ответа на вопрос о величине n+m для заданной вероятности. Например, вероятность 0,5 даёт как набор из 16 мужчин и 16 женщин, так и набор из 43 мужчин и 6 женщин.
Другое обобщение парадокса дней рождения состоит в постановке задачи о том, сколько требуется человек для того, чтобы вероятность наличия в группе людей, дни рождения которых различаются не более чем на один день (или на два, три дня и так далее), превысила 50 %. При решении этой задачи используется принцип включения-исключения. Результат (опять-таки в предположении, что дни рождения распределены равномерно) получается следующим:
Максимальное различие дней рождения, количество дней | Необходимое количество людей |
---|---|
1 | 23 |
2 | 14 |
3 | 11 |
4 | 9 |
5 | 8 |
6 | 8 |
7 | 7 |
8 | 7 |
Таким образом, вероятность того, что даже в группе из 7 человек дни рождения хотя бы у двух из них будут различаться не более чем на неделю, превышает 50 %.
Парадокс дней рождения в общем виде применим к хеш-функциям: если хеш-функция генерирует N‑битное значение, то число случайных входных данных, для которых хеш-коды с большой вероятностью дадут коллизию (то есть найдутся равные хеш-коды, полученные на разных входных данных), равно не 2N, а только около 2N/2. Это наблюдение используется в атаке на криптографические хеш‑функции, получившей название «атака „дней рождения“».
N | Количество различных выходных цепочек (2N) | Вероятность хотя бы одной коллизии (p) | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
10-18 | 10-15 | 10-12 | 10-9 | 10-6 | 0.1% | 1% | 25% | 50% | 75% | ||
32 | 4.3 × 109 | 2 | 2 | 2 | 2.9 | 93 | 2.9 × 10³ | 9.3 × 10³ | 5.0 × 10⁴ | 7.7 × 10⁴ | 1.1 × 10⁵ |
64 | 1.8 × 1019 | 6.1 | 1.9 × 10² | 6.1 × 10³ | 1.9 × 10⁵ | 6.1 × 10⁶ | 1.9 × 10⁸ | 6.1 × 10⁸ | 3.3 × 10⁹ | 5.1 × 10⁹ | 7.2 × 10⁹ |
128 | 3.4 × 1038 | 2.6 × 1010 | 8.2 × 1011 | 2.6 × 1013 | 8.2 × 1014 | 2.6 × 1016 | 8.3 × 1017 | 2.6 × 1018 | 1.4 × 1019 | 2.2 × 1019 | 3.1 × 1019 |
256 | 1.2 × 1077 | 4.8 × 1029 | 1.5 × 1031 | 4.8 × 1032 | 1.5 × 1034 | 4.8 × 1035 | 1.5 × 1037 | 4.8 × 1037 | 2.6 × 1038 | 4.0 × 1038 | 5.7 × 1038 |
384 | 3.9 × 10115 | 8.9 × 1048 | 2.8 × 1050 | 8.9 × 1051 | 2.8 × 1053 | 8.9 × 1054 | 2.8 × 1056 | 8.9 × 1056 | 4.8 × 1057 | 7.4 × 1057 | 1.0 × 1058 |
512 | 1.3 × 10154 | 1.6 × 1068 | 5.2 × 1069 | 1.6 × 1071 | 5.2 × 1072 | 1.6 × 1074 | 5.2 × 1075 | 1.6 × 1076 | 8.8 × 1076 | 1.4 × 1077 | 1.9 × 1077 |
В белых ячейках указано количество человек в группе, при котором коллизия произойдёт с заданной вероятностью (по аналогии с парадоксом количество выходных цепочек равно 365).
Сходный математический аппарат используется для оценки размера популяции рыб, обитающих в озёрах. Метод называется «capture-recapture» («поймать — поймать снова»). Действительно, если каждую пойманную рыбу помечать и отпускать, то вероятность поймать помеченную рыбу будет расти нелинейно (в соответствии с приведённым выше графиком) с ростом количества попыток. Размер популяции грубо может быть оценён как квадрат числа попыток, совершаемых до вылавливания первой помеченной рыбы.
Решение задачи в общем виде находит применение во многих разделах математики, например, в недетерминированных алгоритмах факторизации. Так, одно из самых простых объяснений ρ-метода Полларда аналогично объяснению парадокса дней рождения: достаточно иметь примерно случайных чисел от 0 до , где — простые, чтобы хотя бы для одной из пар чисел с высокой вероятностью нашёлся , который и будет делителем числа n.
Пользуясь формулой, приведённой выше, получаем:
p | n | n↓ | p(n↓) | n↑ | p(n↑) |
---|---|---|---|---|---|
0.01 | 0.14178√365 = 2.70864 | 2 | 0.00274 | 3 | 0.00820 |
0.05 | 0.32029√365 = 6.11916 | 6 | 0.04046 | 7 | 0.05624 |
0.1 | 0.45904√365 = 8.77002 | 8 | 0.07434 | 9 | 0.09462 |
0.2 | 0.66805√365 = 12.76302 | 12 | 0.16702 | 13 | 0.19441 |
0.3 | 0.84460√365 = 16.13607 | 16 | 0.28360 | 17 | 0.31501 |
0.5 | 1.17741√365 = 22.49439 | 22 | 0.47570 | 23 | 0.50730 |
0.7 | 1.55176√365 = 29.64625 | 29 | 0.68097 | 30 | 0.70632 |
0.8 | 1.79412√365 = 34.27666 | 34 | 0.79532 | 35 | 0.81438 |
0.9 | 2.14597√365 = 40.99862 | 40 | 0.89123 | 41 | 0.90315 |
0.95 | 2.44775√365 = 46.76414 | 46 | 0.94825 | 47 | 0.95477 |
0.99 | 3.03485√365 = 57.98081 | 57 | 0.99012 | 58 | 0.99166 |
Пусть в комнате находятся n - 1 человек, и их дни рождения различны. Пусть g(n) — вероятность того, что день рождения вошедшего человека совпадает с днём рождения кого‑либо из присутствующих в комнате. Требуется найти значение n, при котором значение функции g(n) максимально.
Решение сводится к нахождению максимального значения выражения
Используя приведённую выше формулу для p(n), получим n = 20.
Рассмотрим другую задачу. Сколько в среднем нужно людей для того, чтобы хотя бы у двух из них совпали дни рождения?
Эта проблема имела отношение к алгоритмам хеширования и была исследована Дональдом Кнутом. Оказывается, что интересующая нас случайная величина имеет математическое ожидание, равное
где
Функция
была исследована Рамануджаном. Он же получил для этой функции следующее асимптотическое разложение:
При M = 365 среднее число людей равно
Это число немного больше, чем число людей, обеспечивающих вероятность 50 %. Как ни удивительно, необходимое число людей равно M + 1 = 366 (у 365 людей дни рождения могут распределиться по каждому из 365 дней года без совпадений), хотя в среднем нужно лишь 25.
В этой статье или разделе имеется список источников или внешних ссылок, но источники отдельных утверждений остаются неясными из-за отсутствия сносок. |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .