WikiSort.ru - Не сортированное

Если функция ${\displaystyle F:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

• непрерывна в некоторой окрестности точки ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$
• ${\displaystyle F(x_{0},y_{0})=0}$ и
• при фиксированном ${\displaystyle x}$ функция ${\displaystyle F(x,y)}$ строго монотонна по y в данной окрестности,

тогда найдётся такой двумерный промежуток ${\displaystyle I=I_{x}\times I_{y}}$ , являющийся окрестностью точки ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ , и такая непрерывная функция ${\displaystyle f:I_{x}\to I_{y}}$ , что для любой точки ${\displaystyle (x,y)\in I}$

${\displaystyle F(x,y)=0\Leftrightarrow y=f(x)}$

Предположим, что отображение ${\displaystyle F}$ удовлетворяет следующим условиямː

• ${\displaystyle F\in C^{k}(W),}$ ${\displaystyle k\geq 1,}$ то есть ${\displaystyle F}$ является ${\displaystyle k}$ раз непрерывно дифференцируемым в ${\displaystyle W,}$
• ${\displaystyle F(x_{0},y_{0})=0,}$
• якобиан отображения ${\displaystyle y\mapsto F(x_{0},y)}$ не равен нулю в точке ${\displaystyle y_{0},}$ то есть определитель матрицы ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y}}(x_{0},y_{0})}$ не равен нулю.

Тогда существуют окрестности ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ точек ${\displaystyle x_{0}}$ и ${\displaystyle y_{0}}$ в пространствах ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ соответственно, причём ${\displaystyle U\times V\subset W}$ , и отображение ${\displaystyle f:U\to V,}$ ${\displaystyle f\in C^{k}(U),}$ такие, что

${\displaystyle F(x,y)=0\Leftrightarrow y=f(x)}$

для всех ${\displaystyle x\in U}$ и ${\displaystyle y\in V}$ . Отображение ${\displaystyle f}$ определено однозначно.

Предположим, что отображение ${\displaystyle F}$ удовлетворяет следующим условиямː

• ${\displaystyle F}$ является непрерывным в ${\displaystyle W,}$
• ${\displaystyle F(x_{0},y_{0})=0,}$
• существуют окрестности ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ точек ${\displaystyle x_{0}}$ и ${\displaystyle y_{0}}$ в пространствах ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ соответственно, причём ${\displaystyle U\times V\subset W}$ , такие, что для каждого фиксированного ${\displaystyle x\in U}$ отображение ${\displaystyle y\mapsto F(x,y)}$ является взаимно однозначным в ${\displaystyle V}$ .

Тогда существует такое непрерывное отображение ${\displaystyle f:U\to V}$ , что

${\displaystyle F(x,y)=0\Leftrightarrow y=f(x)}$

для всех ${\displaystyle x\in U}$ и ${\displaystyle y\in V}$ .