WikiSort.ru - Не сортированное

Допущения

Модель имеет ряд упрощений^[5]:

• имеется только один товар — ${\displaystyle Y}$
• нет государственных расходов и налогов
• нет изменений безработицы
• производство определяется агрегированной функцией только трех факторов производств: ${\displaystyle K}$ — капитал, ${\displaystyle L}$ — труд, ${\displaystyle A}$ — знания, эффективность труда одного работника, зависящая от квалификации, образования и здоровья работника
• нормы сбережения и амортизации фиксированы, задаются экзогенно — ${\displaystyle s}$ и ${\displaystyle \delta }$
• темп роста численности и технического прогресса постоянен, задаются экзогенно — ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle g}$ .

В модели Солоу рассматривается неоклассическая производственная функция^[5]:

${\displaystyle Y=F(K,L,A)}$ .

Переменная ${\displaystyle A}$ отражает трудосберегающий технический прогресс и рассматривается всегда вместе с объёмом трудовых ресурсов ${\displaystyle L}$ , а именно рассматривается комплексный фактор ${\displaystyle LA}$ — количество работников с постоянной эффективностью труда, которое может расти как за счёт увеличения численности работников ${\displaystyle L}$ , так и за счёт повышения эффективности их труда ${\displaystyle A}$ . Таким образом, в модели Солоу производственная функция имеет вид:

${\displaystyle Y=F(K,LA)}$ ,

причём с учётом свойства линейной однородности (постоянной отдачи от масштаба) её можно записать в удельных переменных (на единицу труда с постоянной эффективностью):

${\displaystyle {\frac {Y}{LA}}=f({\frac {K}{LA}})}$ или ${\displaystyle y=f(k)}$ ,

где ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle k}$ — соответственно производительность и капиталовооруженность труда с постоянной эффективностью.

Примером такой функции является функция Кобба — Дугласа с постоянной отдачей от масштаба^[5]:

${\displaystyle Y=K^{\alpha }\cdot (LA)^{1-\alpha }=LA\cdot (K/LA)^{\alpha }}$ , где ${\displaystyle 0<{\alpha }<1}$ , ${\displaystyle \alpha }$  — коэффициент эластичности по капиталу, ${\displaystyle 1-\alpha }$ — коэффициент эластичности по труду.

или ${\displaystyle y=k^{\alpha }}$ .

Сущность модели

Доход расходуется на потребление и инвестиции, соответственно тождество дохода ${\displaystyle Y=C+I}$ , или в удельном выражении на единицу труда с постоянной эффективностью — ${\displaystyle y=c+i}$ . Инвестиции равны сбережениям ${\displaystyle I=S=sY}$ или на единицу трудовых ресурсов ${\displaystyle i=sy}$ , где ${\displaystyle s}$  — норма сбережений. Предполагается постоянный темп износа капитала ${\displaystyle \delta }$ и соответственно модель динамики капитала имеет вид:

${\displaystyle {\dot {K}}=sY-\delta K}$

или в удельном представлении:

${\displaystyle {\dot {K}}/LA=sy-\delta k}$ .

С другой стороны, учитывая, что по определению ${\displaystyle K=k\cdot L\cdot A}$ :

${\displaystyle {\dot {K}}={\dot {k}}LA+k({\dot {L}}A+L{\dot {A}})=LA({\dot {k}}+k({\dot {L}}/L+{\dot {A}}/A))}$ .

Следовательно, можно записать окончательно базовое дифференциальное уравнение модели Солоу:

${\displaystyle {\dot {k}}=sf(k)-(n+g+\delta )k}$ ,

где ${\displaystyle n={\dot {L}}/L}$ — темп роста населения (работников); ${\displaystyle g={\dot {A}}/A}$  — темп технического прогресса.

Таким образом, если инвестиции ${\displaystyle sf(k)}$ меньше необходимого уровня ${\displaystyle (n+g+\delta )k}$ , учитывающего рост населения и износ капитала и технический прогресс, то капиталовооруженность труда с постоянной эффективностью падает и наоборот. Равновесный уровень определяется исходя из условия стабильности ${\displaystyle k}$ , то есть ${\displaystyle {\dot {k}}=0}$ . Соответственно условие стационарности следующее (совпадение фактических и необходимых инвестиций):

${\displaystyle sf(k)=(n+g+\delta )k}$

В модели Солоу в стационарном состоянии темп роста производительности труда равен темпу технического прогресса, а темп экономического роста — сумме темпа технического прогресса и темпа роста населения.

При росте нормы сбережений инвестиции начинают превышать необходимый уровень и ${\displaystyle k}$ начинает расти до достижения равновесия при более высоком уровне ${\displaystyle k}$ . В процессе перехода к новому стационарному состоянию темп роста производительности труда будет опережать темп технического прогресса и при достижении нового равновесия они приравняются.

Золотое правило накопления

Модель Солоу позволяет определить оптимальный уровень нормы сбережений, при котором достигается максимальное (удельное) потребление. По определению удельное потребление равно ${\displaystyle c=(1-s)y=f(k)-sf(k)}$ . В стационарном (равновесном) состоянии ${\displaystyle sf(k)=(n+g+\delta )k}$ , поэтому окончательно функция удельного потребления в стационарном состоянии имеет вид:

${\displaystyle c(k)=f(k)-(n+g+\delta )k}$

С учётом того, что ${\displaystyle k}$ зависит от нормы сбережения, условие максимума удельного потребления по ${\displaystyle s}$ примет вид:

${\displaystyle c'_{s}=[f'_{k}-(n+g+\delta )]k'_{s}=0}$ .

Отсюда:

${\displaystyle f'_{k}=n+g+\delta }$ .

С другой стороны, в стационарном состоянии — ${\displaystyle sf(k)=(n+g+\delta )k}$ . Учитывая эти два условия оптимума — ${\displaystyle sf(k)=f'_{k}k}$ или:

${\displaystyle s=f'(k)k/f=\varepsilon _{f/k}=\alpha }$ ,

где ${\displaystyle \alpha }$  — параметр однородной производственной функции Кобба — Дугласа. То есть норма сбережения должна быть равна показателю эластичности удельного выпуска по капиталовооруженности.

Если экономика находится на уровне ниже уровня «золотого правила», то необходимый для перехода к «золотому правилу» рост нормы сбережений на первоначальном этапе приводит к ещё большему падению потребления, однако в будущем потребление будет гораздо больше. Отношение к такому развитию событий зависит от предпочтений текущего или будущего потребления.