WikiSort.ru - Не сортированное

Задача потребительского выбора

Рассматривается репрезентативное домашнее хозяйство. Условно предполагается, что решения этого домохозяйства эквивалентны решениям бесконечно живущего индивида, который учитывает текущее и будущее благосостояние и ресурсы. Функция полезности этого индивида, представляющего все население имеет вид:

${\displaystyle U=\int _{0}^{\infty }u(c_{t})e^{-\rho t}dt}$ ,

где ${\displaystyle c_{t}}$  — потребление на душу населения в момент времени ${\displaystyle t}$ ; ${\displaystyle \rho }$  — положительный коэффициент дисконтирования, отражающий межвременные предпочтения индивида.

Функция полезности ${\displaystyle u(c_{t})}$ является сепарабельной, то есть зависит только от потребления в этот момент. Кроме этого, предполагается что предельная полезность (производная ${\displaystyle u'(c)}$ ) является положительной и убывающей функцией и выполнены условия Инада — при стремлении потребления к нулю, предельная полезность стремится к бесконечности, а при стремлении потребления к бесконечности предельная полезность стремится к нулю.

Доходы «индивида» складываются из заработной платы ${\displaystyle w_{t}}$ и доходов ${\displaystyle r_{t}a_{t}}$ от активов ${\displaystyle a_{t}}$ , принадлежащих ему и имеющих доходность ${\displaystyle r_{t}}$ (активы могут быть также и отрицательными, что отражает ситуацию чистого долга, причем ставка по заемным средствам предполагается одинаковой с доходностью положительных активов). При этом доходы тратятся либо на потребление, либо на увеличение активов (сбережения). Таким образом, увеличение активов в единицу времени равно ${\displaystyle w+ra-c}$ . Необходимо также учесть, что население растет темпом ${\displaystyle n}$ , поэтому активы на одного человека сокращаются с этим же темпом, то есть скорость изменения активов в каждый момент времени уменьшаются на ${\displaystyle na}$ . Таким образом, окончательно бюджетное ограничение индивида имеет вид:

${\displaystyle {\dot {a}}=w+ra-c-na}$ .

Задача оптимизации поведения потребителя заключается в максимизации ${\displaystyle U}$ при данном ограничении. Используя принцип максимума Понтрягина строится функция Гамильтона:

${\displaystyle H=u(c)e^{-\rho t}+\lambda (w+ra-c-na)}$

и условия максимума:

${\displaystyle \lambda =u'(c)e^{-\rho t}}$ и ${\displaystyle {\dot {\lambda }}=-(r-n)\lambda }$ .

Отсюда выводится уравнение динамики потребления:

${\displaystyle {\frac {\dot {c}}{c}}={\frac {1}{\theta }}(r-n-\rho )}$ ,

где ${\displaystyle \theta =-{\frac {u''(c)}{u'(c)}}c}$  — эластичность предельной полезности по потреблению. Эта величина является положительной в силу положительности предельной полезности и отрицательности второй производной полезности (убывающая предельная полезность).

Для существования стационарного состояния необходимо, чтобы ${\displaystyle \theta }$ асимптотически стремилась к постоянной величине, поэтому в качестве функции полезности ${\displaystyle u(c)}$ используют функцию следующего вида:

${\displaystyle u(c)={\frac {c^{1-\theta }-1}{1-\theta }}}$ ,

где ${\displaystyle \theta }$  — постоянная.

Задача фирмы

Рассматривается репрезентативная фирма, производственная функция которой описывает совокупное предложение. Производственная функция является неоклассической и аналогичной производственной функции в модели Солоу: ${\displaystyle Y_{t}=F(K_{t},L_{t}E_{t})}$ , где ${\displaystyle K}$  — капитал, ${\displaystyle L}$  — труд, ${\displaystyle E}$  — эффективность труда. Предполагается, что эффективность труда растет с постоянным темпом ${\displaystyle g}$ .

В силу однородности производственной функции можно записать ${\displaystyle Y=LEf(k)}$ , где ${\displaystyle k=K/LE}$  — капиталовооруженность труда с постоянной эффективностью. Тогда:

${\displaystyle Y'_{K}=LEf'(k)/LE=f'(k)}$ ,

${\displaystyle Y'_{L}=[f(k)-kf'(k)]E_{t}=[f(k)-kf'(k)]e^{gt}}$ ,

где в целях упрощения, предполагается, что эффективность труда в нулевой момент времени равна единице, поэтому динамика эффективности труда описывается как ${\displaystyle E_{t}=e^{gt}}$ .

В условиях совершенной конкуренции предельные производительности по факторам производства равны ценам этих факторов. Цена трудовых ресурсов равна заработной плате ${\displaystyle w}$ , а цена капитала равна ${\displaystyle r+\delta }$ , где ${\displaystyle \delta }$  — темп износа капитала. Тогда:

${\displaystyle f'(k)=r+\delta }$ ,

${\displaystyle [f(k)-kf'(k)]e^{gt}=w}$ .

Общее экономическое равновесие

Поскольку рассматривается закрытая экономика, то капитал принадлежит резидентам и удельный капитал ${\displaystyle K/L}$ на одного работника равен активам ${\displaystyle a}$ .

По аналогии с моделью Солоу можно записать уравнение динамики капиталовооруженности труда с постоянной эффективностью:

${\displaystyle {\dot {k}}=f(k)-{\hat {c}}-(\delta +n+g)k}$ ,

где ${\displaystyle {\hat {c}}=c/LE}$  — потребление на единицу труда с постоянной эффективностью.

Учитывая, что ${\displaystyle {\dot {\hat {c}}}/{\hat {c}}={\dot {c}}/c-g}$ , исходя из решения задачи потребителя можно записать следующее уравнение:

${\displaystyle {\dot {\hat {c}}}/{\hat {c}}={\frac {1}{\theta }}(r-n-\rho -g\theta )}$ ,

или с учётом равенства ${\displaystyle f'(k)=r+\delta }$ , подставив выражение ${\displaystyle r}$ через ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle n}$ :

${\displaystyle {\dot {\hat {c}}}/{\hat {c}}={\frac {1}{\theta }}(f'(k)-\delta -n-\rho -\theta g)}$ .

Данное дифференциальное уравнение вместе с дифференциальным уравнением для капиталовооруженности ${\displaystyle k}$ и определяют экономическую динамику в рамках данной модели.

Модифицированное золотое правило

В модели Солоу устанавливается золотое правило сбережений, максимизирующее потребление. В модели Рамсея это правило модифицируется и имеет вид:

${\displaystyle f'(k)=\delta +n+\rho +\theta g}$ ,

что соответствует постоянному потреблению на единицу труда с постоянной эффективностью (или рост потребления на одного человека с темпом ${\displaystyle g}$ ).