Ковариа́нтный метод — подход в теоретической физике, разработанный Ф. И. Фёдоровым на основе линейной алгебры и прямого тензорного исчисления. Получил распространение в приложении к описанию оптических явлений и, частично, в физике элементарных частиц.
Ковариантный метод — лаконичная математическая формулировка физических теорий, использующая тензорную алгебру. Основными областями применения метода являются теоретическая оптика и акустика. Ковариантный метод существенно упрощает громоздкие выражения, появляющиеся при описании распространения полей в сложных (анизотропных, гиротропных, бианизотропных) средах. С помощью данного метода вводится удобная в приложениях векторная параметризация группы Лоренца, которая может быть далее применена в теории элементарных частиц.
В общем случае электромагнитные и акустические поля описываются векторами. Если пространство, в котором распространяется волна, обладает симметрией, то вектор поля и тензоры, описывающие среду, могут быть заданы своими компонентами в некоторой системе координат, согласованной с симметрией системы, что обычно и применяется в оптике и акустике. Однако векторы и тензоры могут быть записаны безотносительно системы координат, просто как геометрический объекты, что и применяется в ковариантном методе. По этой причине ковариантный метод называют также бескоординатным (при решении задачи не задается конкретная система координат). Описание распространения волны в кристалле сводится к выполнению операций над тензорами и векторами, для чего разработаны методы, упрощающие работу с тензорами и явно использующие их инварианты (в трёхмерном пространстве для тензоров второй валентности это след, определитель тензора и определитель взаимного тензора). Симметрии кристалла в таком подходе выражаются как определённые соотношения между инвариантами, а описывающие кристалл тензоры имеют удобные выражения.
Основными видами тензоров трехмерного пространства, используемыми в ковариантном методе, являются
— единичный тензор ,
— проекционный оператор на направление единичного вектора — диада ,
— проекционный оператор на плоскость, ортогональную единичному вектору ,
— тензор , дуальный вектору : .
Оптические кристаллы могут быть изотропными, одноосными или двуосными. Анизотропия кристаллов определяется тензором диэлектрической проницаемости, который может быть представлен в аксиальном виде:
1. изотропная среда ,
2. одноосный кристалл (вектор задает направление оптической оси),
3. двуосный кристалл .
Векторы, задающие направления оптических осей полностью определяются через собственные значения и главные оси соответствующих тензоров [1], [3], [4].
Общая группа Лоренца может быть представлена как группа преобразований вида
,
удовлетворяющих условиям , . Матрица Лоренца может быть параметризована одним трехмерным комплексным вектором и имеет вид
,
где и — четырехмерные антисимметричные матрицы, которые ставятся в соответствие комплексному трёхмерному вектору . Указанные выше матрицы определяются вектором и комплексно сопряженным к нему вектором соответственно и равны
.
Для вектор-параметров группы Лоренца справедлив следующий закон композиции
.
Векторная параметризация может быть введена и для группы вращений, причем в этом случае вектор-параметры будут принадлежать действительному трёхмерному пространству, а закон их композиции будет тем же.
Ковариантный метод позволяет производить вычисления с векторами и тензорами в их прямой форме, не прибегая к индексной записи. При этом достигается компактность и простота получаемых выражений.
Например, критерии поляризации имеют следующий вид:
- круговая поляризация
- линейная поляризация
существует несколько вариантов критерия круговой и линейной поляризации [3]. Если ни один из приведенных критериев не выполняется, мы имеем дело с общим случаем эллиптической поляризации, при этом выясняются размеры и ориентация осей эллипса поляризации в гораздо более компактной форме, нежели это делается в декартовой системе координат [7].
Так же ковариантный метод позволяет описывать и частично поляризованный и неполяризованный свет с помощью т.н. тензора пучка, введенного Федоровым [3]:
где суммирование выполняется по всем некогерентным волнам, входящим в пучок. Описание поляризации с помощью этого тензора имеет определенные преимущества по сравнению с описанием при помощи вектор-параметра Стокса. Одно из важнейших преимуществ заключается в том, что вычисления становятся более простыми, являясь при этом более общими.
Для улучшения этой статьи желательно: |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .