WikiSort.ru - Не сортированное

Изолированная точка кривой (англ. acnode) — тип особой точки, координаты которой удовлетворяют уравнению алгебраической кривой.^[1]

Изолированные точки обычно находят при изучении плоских алгебраических кривых над не алгебраически замкнутыми полями, определяемых как множество нулей многочлена от двух переменных. Например, уравнение

${\displaystyle f(x,y)=y^{2}+x^{2}-x^{3}=0\;}$

имеет изолированную точку в начале координат ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ , поскольку оно эквивалентно

${\displaystyle y^{2}=x^{2}(x-1)}$

а ${\displaystyle x^{2}(x-1)}$ неотрицательно при ${\displaystyle x}$ ≥ 1 или ${\displaystyle x=0}$ . Таким образом, над полем вещественных чисел уравнение не имеет решений для ${\displaystyle x<1}$ , за исключением (0, 0).

В отличие от вещественного поля уравнение над полем комплексных чисел не имеет изолированной точки в начале координат, поскольку квадратный корень из отрицательных чисел существует.

Изолированная точка является особой точкой функции: обе частные производные ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$ и ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}}$ обращаются в этой точке в ноль. Более того матрица Гессе вторых производных будет положительно опредёлённой или отрицательно определённой.

См. также

• Изолированная точка множества
• Особая точка кривой
• Точка самопересечения кривой^[en]
• Касп
• Точка самоприкосновения

Ссылки

Литература

• Ian Porteous. Geometric Differentation. — Cambridge University Press, 1994. — ISBN 0-521-39063-X.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.