WikiSort.ru - Не сортированное

Идеальные треугольники

Если все вершины треугольника являются идеальными точками, треугольник является идеальным треугольником.

Идеальные треугольники имеют несколько интересных свойств:

• Все идеальные треугольники конгруэнтны.
• Внутренние углы идеального треугольника все равны нулю.
• Любой идеальный треугольник имеет бесконечный периметр.
• Любой идеальный треугольник имеет площадь ${\displaystyle \pi /-K}$ , где K равно (отрицательной) кривизне плоскости^[4].

Идеальные четырёхугольники

Если все вершины четырёхугольника являются идеальными точками, четырёхугольник является идеальным четырёхугольником.

В то время как все идеальные треугольники конгруэнтны, не все четырёхугольники конгруэнтны, диагонали могут пересекаться под разными углами, что приводит к неконгруэнтности четырёхугольников, при этом:

• Внутренние углы идеального четырёхугольника все равны нулю.
• Любой идеальный четырёхугольник имеет бесконечный периметр.
• Любой идеальный (выпуклый без пересечений) четырёхугольник имеет площадь ${\displaystyle 2\pi /-K}$ , где K равно (отрицательной) кривизне плоскости.

Идеальный квадрат

Идеальный четырёхугольник, у которого две диагонали перпендикулярны образует идеальный квадрат.

Идеальный квадрат использовал Фердинанд Карл Швейкарт в его меморандуме, в которой он упоминает «астральную геометрию». Это была одна из первых публикаций, допускающих возможность гиперболической геометрии^[5].

Идеальные n-угольники

Как n-угольники могут быть разделены на (n − 2) идеальных треугольников, и площадь многоугольника будет равна площади идеального треугольника, умноженной на (n − 2).

Дисковая модель Кляйна

Если даны две различные точки p и q в открытом единичном диске, единственная прямая, соединяющая их, пересекает единичную окружность в двух идеальных точках, a и b (предполагается, что точки идут в порядке a, p, q, b), так что |aq| > |ap| и |pb| > |qb|. Тогда гиперболическое расстояние между p и q выражается формулой

${\displaystyle d(p,q)={\frac {1}{2}}\log {\frac {\left|qa\right|\left|bp\right|}{\left|pa\right|\left|bq\right|}},}$

Дисковая модель Пуанкаре

Если заданы две различные точки p и q в открытом единичном диске, то единственная дуга окружности ортогональная границе и соединяющая точки пересекает единичную окружность в двух идеальных точках, a и b (предполагается, что точки идут в порядке a, p, q, b), так что |aq| > |ap| и |pb| > |qb|. Тогда гиперболическое расстояние между p и q выражается формулой

${\displaystyle d(p,q)=\log {\frac {\left|qa\right|\left|bp\right|}{\left|pa\right|\left|bq\right|}},}$

Здесь расстояние измеряется вдоль (прямых) отрезков aq, ap, pb и qb.

Модель полуплоскости Пуанкаре

В модели полуплоскости идеальные точки — это точки на граничной оси. Существует также другая идеальная точка, которая не принадлежит модели полуплоскости (но лучи, параллельные положительной полуоси y, приближаются к ней).

Гиперболическая модель

В гиперболоидной модели нет никаких несобственных точек.