WikiSort.ru - Не сортированное

Инверсная группа — построение в теории групп, сменяющее аргументы бинарной групповой операции местами, используемое для определения правого действия.

Определение

Для данной группы ${\displaystyle G=(G,\cdot )}$ строят ей инверсную группу ${\displaystyle G^{op}=(G,{*})}$ с тем же множеством элементов, но с произведением ${\displaystyle {*}}$ , определённым по правилу

${\displaystyle g*h:=h\cdot g}$ .

Свойства

• Инверсная группа абелевой группы совпадает с ней самой.
• Инверсная группа любой группы изоморфна ей, изоморфизмом будет, например, ${\displaystyle g\mapsto g^{-1}}$ .
  • Более того, любой антиавтоморфизм ${\displaystyle \psi :G\to G}$ порождает соответствующий изоморфизм ${\displaystyle \varphi :G\to G^{op}}$ :

    ${\displaystyle \varphi (a\cdot b)=\psi (a\cdot b)=\psi (b)\cdot \psi (a)=\psi (a)*\psi (b)=\varphi (a)*\varphi (b)}$

• Пусть задано правое действие группы ${\displaystyle G}$ на объекте некоторой категории: ${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {Aut} (X)}$ . Тогда ${\displaystyle \rho ^{op}:G^{op}\to \mathrm {Aut} (X)}$ , определённое как ${\displaystyle \rho ^{op}(g)=\rho (g)}$ (или ${\displaystyle g^{op}x=xg}$ ), является левым действием.

Вариации и обобщения

• При категорном определении группы инверсная группа становится частным случаем двойственной категории.

Литература

• Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — Москва: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Проставив сноски, внести более точные указания на источники.