WikiSort.ru - Не сортированное

граф Хоффмана – Синглтона
Назван в честь	Алан Хоффман[en] Роберт Р. Синглтон
Вершин	50
Рёбер	175
Радиус	2
Диаметр	2[1]
Обхват	5[1]
Автоморфизмы	252,000 (PSU[en](3,52):2) [2]
Хроматическое число	4
Хроматический индекс	7 [3]
Род	29 [4]
Свойства	Сильно регулярный Симметричный Гамильтонов Целочисленный[en] Клетка Граф Мура

Граф Хоффмана — Синглтона — 7-однородный неориентированный граф с 50 вершинами и 175 рёбрами. Граф является единственным сильно регулярным графом с параметрами ${\displaystyle (50,7,0,1)}$ ^[5]. Граф был построен Аланом Хоффманом^[en] и Робертом Синглтоном, когда они пытались классифицировать все графы Мура, и он является графом Мура с наибольшим порядком, для которого известно, что такой граф существует^[6]. Поскольку граф является графом Мура, в котором каждая вершина имеет степень 7, а обхват графа равен 5, граф является клеткой ${\displaystyle (7,5)}$ .

Построение

Существует много путей построения графов Хоффмана — Синглтона.

Алгебраические свойства

Группа автоморфизмов графа Хоффмана — Синглтона является группой порядка 252000 и изоморфна PΣU(3,5²), полупрямому произведению проективной специальной унитарной группы^[en] ${\displaystyle PSU(3,5^{2})}$ и циклической группы порядка 2, сгенерировнной эндоморфизмом Фробениуса. Автоморфизм действует транзитивно на вершины и рёбра графа. Таким образом, граф Хоффмана — Синглтона является симметричным графом. Стабилизатор вершин графа изоморфен симметрической группе ${\displaystyle S_{7}}$ на 7 буквах. Стабилизатор множества рёбер изоморфен ${\displaystyle Aut(A_{6})=A_{6}\cdot 2^{2}}$ , где ${\displaystyle A_{6}}$  — знакопеременная группа на 6 буквах. Оба типа стабилизаторов являются максимальными подгруппами полной группы автоморфизмов графа Хоффмана — Синглтона.

Характеристический многочлен графа Хоффмана — Синглтона равен ${\displaystyle (x-7)(x-2)^{28}(x+3)^{21}}$ . Таким образом, граф Хоффмана — Синглтона является целочисленным^[en] — его спектр состоит полностью из целых чисел.

Подграфы

Используя только факт, что граф Хоффмана — Синглтона является строго регулярным с параметрами ${\displaystyle (50,7,0,1)}$ , можно показать, что в нём существует 1260 циклов длины 5.

Кроме того, граф Хоффмана — Синглтона содержит 525 копий графа Петерсена. Удаление одного из них даёт копию единственной ${\displaystyle (6,5)}$ -клетки^[7].

См. также

• Таблица наибольших известных графов заданного диаметра и максимальной степени^[en]

Примечания

Литература

• P. R. Hafner. The Hoffman-Singleton Graph and Its Automorphisms // J. Algebraic Combin. — 2003. — Т. 18.
• G. Royle. Re: What is the Edge Chromatic Number of Hoffman-Singleton? (неопр.). GRAPHNET@istserv.nodak.edu posting. (Sept. 28, 2004.).
• M.D.E. Conder, K. Stokes. Minimum genus embeddings of the Hoffman-Singleton graph // preprint. — 2014.
• C. T. Benson, N. E. Losey. On a graph of Hoffman and Singleton // Journal of Combinatorial Theory. Series B. — Т. 11, вып. 1. — С. 67–79. — ISSN 0095-8956. — DOI:10.1016/0095-8956(71)90015-3.
• D.A. Holton, J. Sheehan. The Petersen graph. — Cambridge University Press, 1993. — С. 186, 190. — ISBN 0-521-43594-3..
• Andries E. Brouwer. Hoffman-Singleton graph (неопр.).
• Alan J. Hoffman, Robert R. Singleton. Moore graphs with diameter 2 and 3 // IBM Journal of Research and Development. — 1960. — Т. 5, вып. 4. — С. 497–504. — DOI:10.1147/rd.45.0497.
• Pak-Ken Wong. On the uniqueness of the smallest graph of girth 5 and valency 6 // Journal of Graph Theory. — 1979. — Т. 3. — С. 407–409. — DOI:10.1002/jgt.3190030413.

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. Оформить математические формулы