WikiSort.ru - Не сортированное

Выпуклая геометрия — ветвь геометрии, изучающая выпуклые множества, в основном, в евклидовом пространстве. Выпуклые множества возникают естественным образом во многих областях, в том числе в вычислительной геометрии, выпуклом анализе^[en], комбинаторной геометрии, функциональном анализе, геометрии чисел, интегральной геометрии, линейном программировании, теории вероятностей.

История

Вклад в выпуклую геометрию может быть отслежен в Началах Евклида. Точное определение выпуклой кривой и поверхности было дано Архимедом в его трактате «О шаре и цилиндре».

Самостоятельной ветвью математики дисциплина стала в конце XIX столетия, в основном благодаря работам Германа Брунна (нем. Herman Brunn) и Германа Минковского для пространств размерностей два и три. Значительная часть их результатов была вскоре обобщена на пространства большей размерности.

Важность направления для прикладных задач проявилась в середине XX века, когда развитие выпуклой оптимизации (выпуклого программирования) упёрлось в некоторые факты о выпуклых телах. Дело в том, что ряд классических неравенств и оценок, полученных в начале XX века для произвольных выпуклых тел, несильно зависят (либо не зависят вовсе) от размерности пространства, это позволило избежать «проклятия размерности» — традиционной проблемы в прикладной математике, когда сложность задачи катастрофически растёт с увеличением числа переменных^[1].

Первый объемлющий обзор выпуклой геометрии в евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ опубликован в 1934 году Томми Боннезеном (нем. Tommy Bonnesen) и Вернером Фенхелем^[2]. В 1993 году под редакцией Грубера и Вильса (нем. Jörg Wills) вышел двухтомный «Справочник по выпуклой геометрии», включающий результаты, полученные в XX веке^[3].

Классификация

Согласно математической предметной классификации^[4] математическая дисциплина «выпуклая и дискретная геометрия» включает три основных ветви^[5]:

• общая выпуклость,
• многогранники,
• дискретная геометрия.

«Общая выпуклость» затем подразделяется на:

• аксиоматическая и обобщённая выпуклость,
• выпуклые множества без ограничения на размерность,
• выпуклые множества в топологических векторных пространствах,
• выпуклые множества в двумерных пространствах (включая выпуклые кривые),
• выпуклые множества в трёхмерных пространствах (включая выпуклые поверхности),
• выпуклые множества в n-мерных пространствах (включая выпуклые гиперповерхности),
• банаховы пространства конечной размерности,
• случайные выпуклые множества и интегральная геометрия,
• асимптотическая теория выпуклых тел,
• аппроксимация выпуклыми множествами,
• варианты выпуклых множеств (звездообразные, (m, n)-выпуклые, и так далее),
• теоремы, подобные теореме Хэлли и геометрическая теория трансверсалей,
• другие проблемы комбинаторной выпуклости,
• длина, площадь, объём,
• смешанные объёмы и связанные понятия,
• неравенства и экстремальные задачи,
• выпуклые функции и выпуклое программирование,
• сферическая и гиперболическая выпуклость.

Термин «выпуклая геометрия» используется также в комбинаторике в качестве названия одной из абстрактных моделей выпуклых множеств, одна из которых эквивалентна антиматроидам^[en].

Примечания

Ссылки

• K. Ball. An elementary introduction to modern convex geometry. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1997. — Т. 31. — С. 1–58. — (Flavors of Geometry, MSRI Publications).
• M. Berger. Convexity // Amer. Math. Monthly. — 1990. — Т. 97. — С. 650—678.
• Dwilewicz, R. J. A short history of Convexity // Diff. Geom. Dyn. Syst. — 2009. — Т. 11. — С. 112-129.
• P. M. Gruber. Aspects of convexity and its applications // Exposition. Math. — 1984. — Т. 2. — С. 47—83.
• V. Klee. What is a convex set? // Amer. Math. Monthly. — 1971. — Т. 78. — С. 616—631.
• Боннезен Т., Фенхель В. Теория выпуклых тел = Theory of convex bodies, 1987. — М.: Фазис, 2002. — (Библиотека студента-математика). — ISBN 5-7036-0075-8.
• R. J. Gardner. Geometric tomography. — 2. — New York: Cambridge University Press, 2006.
• P. M. Gruber. Convex and discrete geometry. — New York: Springer-Verlag, 2007.
• Handbook of convex geometry / P. M. Gruber, J. M. Wills. — Amsterdam: North-Holland, 1993. — Т. A, B.
• G. Pisier. The volume of convex bodies and Banach space geometry. — Cambridge: Cambridge University Press, 1989.
• R. Schneider. Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory. — Cambridge: Cambridge University Press, 1993.
• A. C. Thompson. Minkowski geometry. — Cambridge: Cambridge University Press, 1996.
• A. Koldobsky, V. Yaskin. The Interface between Convex Geometry and Harmonic Analysis. — Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 2008..

• W. Fenchel. Convexity through the ages ((Danish)) // Dansk. Mat. Forening. — Copenhagen, 1973. — С. 103–116 Danish Mathematical Society (1929—1973). Перевод на английский: Convexity through the ages, in: P. M. Gruber, J. M. Wills (editors), Convexity and its Applications, pp. 120—130, Birkhauser Verlag, Basel, 1983.
• P. M. Gruber. Ein Jahrhundert Mathematik 1890—1990 / G. Fischer, et al.. — Freiburg: F. Wieweg and Sohn, Braunschweig; Deutsche Mathematiker Vereinigung, 1990. — Т. 6,. — С. 421–455. — (Dokumente Gesch. Math.).
• P. M. Gruber. Handbook of convex geometry / P. M. Gruber, J. M. Wills. — Amsterdam: North-Holland, 1993.. — Т. A. — С. 1–15.

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка.