WikiSort.ru - Не сортированное

Адиабатический инвариант — физическая величина, которая не меняется при плавном изменении некоторых параметров физической системы - таком, что характерное время этого изменения гораздо больше характерного времени процессов, происходящих в самой системе^[1].

Возникновение термина

Адиабатический процесс первоначально означал процесс без теплообмена с окружающей средой. Название возникло от термина "адиабатическая оболочка"(др.-греч. ἀδιάβατος — «непроходимый») — оболочка, не пропускающая тепло.

Но в середине XX века некоторые учёные (в частности, Л. Д. Ландау), стали так называть процесс, проходящий через практически равновесные состояния, то есть достаточно медленно и плавно. Сейчас такой процесс называют квазистатическим или равновесным. Исторически название "адиабатический инвариант" появилось по аналогии с таким термодинамическим процессом.

В настоящее время слово "адиабатический" снова используется в первоначальном значении ("процесс без теплообмена со средой"), но термин "адиабатический инвариант" уже устоялся.

Классическая механика

В классической механической системе, которая осуществляет периодическое движение с периодом T и зависит от параметра λ, адиабатичность изменения параметра определяется условием

${\displaystyle T{\frac {d\lambda }{dt}}\ll \lambda }$ .

Функция Гамильтона системы зависит от её внутренних переменных и параметра

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}(q,p,t,\lambda )}$

Внутренние переменные q и p меняются со временем быстро, с периодом T. Но энергия системы E является интегралом движения при неизменном параметре λ. При изменении параметра во времени

${\displaystyle {\frac {dE}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \lambda }}{\frac {d\lambda }{dt}}}$ .

При усреднении этого выражения по времени в течение периода можно считать, что параметр λ неизменен.

${\displaystyle {\overline {\frac {dE}{dt}}}={\frac {d\lambda }{dt}}{\overline {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \lambda }}}}$ ,

где усреднение определено как

${\displaystyle {\overline {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \lambda }}}={\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \lambda }}dt}$ .

Удобно перейти от интегрирования по времени к интегрированию по переменной q:

${\displaystyle dt={\frac {dq}{\partial {\mathcal {H}}/\partial p}}}$ .

В таком случае период T равен

${\displaystyle T=\oint {\frac {dq}{\partial {\mathcal {H}}/\partial p}}}$ ,

где интегрирование проводится вперед и назад в пределах изменения координаты за период движения.

Записывая импульс как функцию энергии E, координаты q и параметра, после некоторых преобразований можно получить

${\displaystyle \oint \left({\frac {\partial p}{\partial E}}{\overline {\frac {\partial E}{\partial t}}}+{\frac {\partial p}{\partial \lambda }}{\frac {d\lambda }{dt}}\right)dq=0}$ .

Окончательно, можно записать

${\displaystyle {\overline {\frac {dI}{dt}}}=0}$ ,

где величина

${\displaystyle I={\frac {1}{2\pi }}\oint pdq,}$

и будет адиабатическим инвариантом.

Интеграл, входящий в полученное выражение, приобретает простой геометрический смысл, если обратиться к представлению о фазовом пространстве и фазовой траектории системы в нём. В рассматриваемом случае система имеет одну степень свободы, поэтому фазовое пространство представляет собой фазовую плоскость, образуемую множеством точек с координатами ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ . Поскольку система совершает периодическое движение, то её фазовая траектория^[2] является замкнутой кривой на этой плоскости, соответственно, интеграл берётся вдоль этой замкнутой кривой. В итоге следует, что интеграл ${\displaystyle \oint pdq}$ равен площади фигуры, ограниченной фазовой траекторией системы.

Площадь можно выразить и в виде двумерного интеграла, тогда для адиабатического инварианта будет выполняться

${\displaystyle I={\frac {1}{2\pi }}\int dpdq.}$

Пример. Гармонический осциллятор

Рассмотрим в качестве примера одномерный гармонический осциллятор. Функция Гамильтона такого осциллятора имеет вид

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}q^{2}}{2}},}$

где ${\displaystyle \omega }$ — собственная (циклическая) частота осциллятора. Уравнение фазовой траектории в данном случае определяется законом сохранения энергии ${\displaystyle H(p,q)=E}$ и поэтому имеет вид

${\displaystyle {\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}q^{2}}{2}}=E.}$

Из уравнения видно, что траектория представляет собой эллипс с полуосями ${\displaystyle {\sqrt {2mE}}}$ и ${\displaystyle {\sqrt {2E/m\omega ^{2}}}}$ , соответственно его площадь, делённая на ${\displaystyle 2\pi }$ , равна ${\displaystyle {\frac {E}{\omega }}}$ . Таким образом, величина ${\displaystyle I={\frac {E}{\omega }}}$ является адиабатическим инвариантом для гармонического осциллятора. Отсюда следует, что в тех случаях, когда параметры осциллятора изменяются медленно, его энергия изменяется пропорционально частоте.

Свойства адиабатического инварианта

Производная от адиабатического инварианта по энергии равна периоду, разделенном на 2π .

${\displaystyle 2\pi {\frac {\partial I}{dE}}=T}$

или

${\displaystyle {\frac {\partial E}{\partial I}}=\omega }$ ,

где ω — циклическая частота.

С помощью канонических преобразований можно сделать адиабатический инвариант новой переменной, которая называется переменной действия. В новой системе переменных она играет роль импульса. Канонически сопряженная к ней переменная называется угловой переменной.

Примечания

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. — Издание 4-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 199—202. — 215 с. — («Теоретическая физика», том I). — ISBN 5-02-013850-9.