WikiSort.ru - Не сортированное

Переменные действие — угол — пара канонически сопряженных переменных классической механической системы, в которой роль импульса играет переменная действия — адиабатический инвариант.

Образующей функцией для канонического преобразования в новых переменных является функция

${\displaystyle S_{0}(q,E)=\int p(q,E)dq}$ ,

где ${\displaystyle E}$  — энергия, однозначно связана с адиабатическим инвариантом ${\displaystyle I}$ .

Канонически сопряженная к переменной действия угловая переменная ${\displaystyle \omega }$ определяется, как

${\displaystyle \omega ={\frac {\partial S_{0}(q,I)}{\partial I}}}$ .

Уравнения движения в переменных действие-угол имеют очень простой вид:

${\displaystyle {\dot {I}}=0,}$

${\displaystyle {\dot {\omega }}={\frac {dE}{dI}}=\nu (I)}$

Таким образом, адиабатический инвариант ${\displaystyle I}$ является интегралом движения, а угловая переменная возрастает со временем по линейному закону. За один период угловая переменная увеличивается на ${\displaystyle 2\pi }$ . Переменные координата ${\displaystyle q}$ и импульса ${\displaystyle p}$ являются периодическими функциями угловой переменной.

Пример

Найдем переменные действие-угол для гармонического осциллятора

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}(p^{2}+\omega ^{2}q^{2})\ \ \Rightarrow \ p(E,q)=\pm {\sqrt {2E-\omega ^{2}q^{2}}}}$

По определению

${\displaystyle I={\frac {1}{2\pi }}\oint {\sqrt {2E-\omega ^{2}q^{2}}}dq={\frac {1}{\pi }}\int _{-{\frac {\sqrt {2E}}{\omega }}}^{\frac {\sqrt {2E}}{\omega }}{\sqrt {2E-\omega ^{2}q^{2}}}dq={\frac {E}{\omega }}}$

А значит производящая функция канонического преобразования имеет вид

${\displaystyle S(I,q)=\omega \int ^{q}{\sqrt {2I-x^{2}}}dx}$

По определению переменной "угол"

${\displaystyle \theta ={\frac {\partial S}{\partial I}}=\omega \int ^{q}{\frac {dx}{\sqrt {2I-x^{2}}}}=\omega \arctan {\frac {q}{\sqrt {2I-q^{2}}}}\ \Rightarrow \ q={\sqrt {2I}}\sin {\frac {\theta }{\omega }}}$

Литература

• Ландау Л.  Д., Лифшиц Е.  М. Механика. Теоретическая физика, т.1. — Госиздат, 1958. — 206 с.

См. также

• Суперинтегрируемая гамильтонова система

Это заготовка статьи по физике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.