WikiSort.ru - Не сортированное

Value at risk (VaR) — стоимостная мера риска. Распространено общепринятое во всём мире обозначение «VaR». Это выраженная в денежных единицах оценка величины, которую не превысят ожидаемые в течение данного периода времени потери с заданной вероятностью.

VaR характеризуется тремя параметрами:

• Временной горизонт, который зависит от рассматриваемой ситуации. По базельским документам — 10 дней, по методике RiskMetrics — 1 день. Чаще распространен расчет с временным горизонтом 1 день. 10 дней используется для расчета величины капитала, покрывающего возможные убытки.
• Доверительный уровень (confidence level) — уровень допустимого риска. По базельским документам используется величина 99 %, в системе RiskMetrics — 95 %.
• Базовая валюта, в которой измеряется показатель.

VaR — это величина убытков, которая с вероятностью, равной уровню доверия (например, 99 %), не будет превышена. Следовательно, в 1 % случаев убыток составит величину, большую чем VaR.

Проще говоря, вычисление величины VaR проводится с целью заключения утверждения подобного типа: «Мы уверены на X% (с вероятностью X/100), что наши потери не превысят Y долларов в течение следующих N дней». В данном предложении неизвестная величина Y и есть VaR.

Бывает: 1) исторической, когда распределение доходностей берется из уже реализовавшегося временного ряда, то есть неявно предполагается, что доходности в будущем будут вести себя похожим на то, что уже наблюдалось, образом. 2) параметрической, когда расчеты проводятся в предположении, что известен вид распределения доходностей (чаще всего оно предполагается нормальным).

Параметрическая VaR

Пусть имеется ${\displaystyle n}$ активов, стоимость которых ${\displaystyle V_{i}}$ может случайным образом изменяться. Темпы возможного прироста стоимости активов обозначим ${\displaystyle r_{i}}$ и назовем их доходностями. Обозначим ${\displaystyle r=(r_{1},r_{2},...,r_{n})}$  — вектор доходностей (случайных величин) этих активов и ${\displaystyle \Sigma =[\sigma _{ij}]}$  — ковариационную матрицу (матрица ковариаций ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ ) доходностей. Все доходности вычисляются для выбранного периода.

Портфель активов характеризуется вектором структуры ${\displaystyle d=(d_{1},d_{2},...,d_{n})}$ , где ${\displaystyle d_{i}=V_{i}/\sum _{j=1}^{n}V_{j}=V_{i}/V_{p}}$  — доля стоимости ${\displaystyle i}$ -го актива в портфеле.

Тогда доходность портфеля выразится через доходности активов следующим образом:

${\displaystyle r_{p}=d^{T}r=\sum _{i=1}^{n}d_{i}r_{i}}$

Тогда ожидаемая (математическое ожидание) доходность портфеля выражается через ожидаемые доходности активов следующим образом:

${\displaystyle \mu _{p}=E(r_{p})=d^{T}E(r)=\sum _{i=1}^{n}d_{i}E(r_{i})=\sum _{i=1}^{n}d_{i}\mu _{i}}$

а дисперсия портфеля будет равна

${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=V(r_{p})=V(d^{T}r)=d^{T}\Sigma d=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\sigma _{ij}d_{i}d_{j}}$

Если предполагается нормальное распределение доходностей, то для заданной вероятности ${\displaystyle \alpha }$ (например, 5 % или 1 %)

${\displaystyle P(r_{p}<\mu _{p}-u_{\alpha }\sigma _{p})=\alpha }$

где ${\displaystyle u_{\alpha }}$  — односторонняя ${\displaystyle \alpha }$ -квантиль стандартного нормального распределения.

Следовательно, величина VaR оценивается как

${\displaystyle VaR=-V_{p}(\mu _{p}-u_{\alpha }\sigma _{p})}$ ,

где знак минус перед формулой необходим для положительности полученного значения. Чаще всего ожидаемую «доходность» портфеля принимают равной нулю. Поэтому

${\displaystyle VaR=V_{p}\sigma _{p}u_{\alpha }}$

Условная VaR (CVaR)

Одним из последующих направлений развития методики построения портфельных рисков является CVaR — Conditional VaR^[1] или Expected Shorfall (ES) (иногда также Average value at risk (AVaR) или Expected tail loss (ETL)) — средний ожидаемый (математическое ожидание) размер убытка (с данным уровнем риска, на данном горизонте), при условии, что он превысит соответствующее значение VaR. Если случайную величину возможных потерь обозначить ${\displaystyle X}$ , то определение CVar

${\displaystyle ES_{\alpha }=CVaR_{\alpha }=E(X|X>VaR_{\alpha })}$

Таким образом, если ${\displaystyle X\in L^{p}({\mathcal {F}})}$ (где Lp (пространство)) — это потери портфеля в некотором будущем и ${\displaystyle 0<\alpha <1}$ , тогда формула определения средних ожидаемых потерь:

${\displaystyle ES_{\alpha }=CVaR_{\alpha }={\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\alpha }VaR_{\gamma }(X)d\gamma ={\frac {1}{\alpha }}\int _{-\infty }^{-VaR_{\alpha }}xp(x)dx}$ ,

где ${\displaystyle VaR_{\gamma }}$  — Value at Risk уровня ${\displaystyle \gamma }$ , ${\displaystyle p(x)}$  — плотность распределения потерь.

В отличие от базового VaR, такая мера позволяет уже не только выделить нетипичный уровень потерь, но и показывает, что, скорее всего, произойдет при их реализации. CVaR уровня ${\displaystyle \alpha }$ определяет ожидаемый возврат по портфелю в ${\displaystyle \alpha }$ худших случаях. CVaR оценивает значение (или риск) инвестиций консервативным образом, ориентируясь на менее прибыльные результаты. При больших значениях ${\displaystyle \alpha }$ CVaR игнорирует самые прибыльные стратегии, у которых мала вероятность наступления, при малых значениях ${\displaystyle \alpha }$ CVaR строится на самых плохих сценариях. Значение ${\displaystyle q}$ , которое часто используется на практике, составляет ${\displaystyle 5\%}$ .

В случае нормального распределения ES будет равен

${\displaystyle ES_{\alpha }={\frac {1}{\alpha }}\phi [\Phi ^{-1}(\alpha )]\sigma _{p}}$

где ${\displaystyle \phi }$  — плотность, а ${\displaystyle \Phi }$  — интегральная функция стандартного нормального распределения (${\displaystyle \Phi ^{-1}(\alpha )}$  — это квантиль уровня ${\displaystyle \alpha }$ ).

VaR в управлении рисками

Филипп Джорион писал : [17] «Наибольшая польза VAR заключается в наложении структурированной методологии для критического мышления о риске. Учреждения, которые проходят через процесс вычисления VAR, вынуждены встать перед фактом их подверженности финансовым рискам и создать надлежащие функции управления риском. Таким образом, процесс получения VAR может быть столь же важен, как и само число VAR»^[2]. Существуют рекомендации по применению^[3]

• Убытки от одно- до трёхкратной величины VaR являются нормальным явлением. Распределение потерь обычно имеет высокие коэффициенты асимметрии и эксцесса, и можно получить больше, чем одно превышение в течение короткого периода времени. Кроме того, рынки могут быть анормальными и торговля может увеличить потери. Таким образом, учреждение, которое не может справиться с 3-кратными VaR потерями в качестве рутинного события, вероятно, не будет существовать достаточно долго для внедрения VaR-системы.
• Убытки от трёх- до десятикратной величины VaR являются диапазоном для стресс-тестирования. Учреждения должны быть уверены, что они изучили все известные события, которые вызывают потери в этом диапазоне, и готовы пережить их. Эти события слишком редки, чтобы оценить их вероятность надежно, поэтому расчеты риск / доходность бесполезны.
• Прогнозируемые события не должны вызывать потери в десять раз большие, чем VaR. Если есть такие события, они должны быть хеджированы или застрахованы, или бизнес-план должен быть изменен, чтобы избежать их, или VaR должно быть увеличено. Есть, конечно, и непредвиденные убытки более чем в десять раз превышающие VaR, но вы не можете знать много о них, и их учёт приводит к ненужным беспокойствам. Лучше надеяться, что дисциплина подготовки для всех известных VaR потерь (от трехкратных до десятикратных) повысит шансы на выживание в случае непредвиденных и больших потерь, которые неизбежно возникают.

VaR в портфельной оптимизации

При решении задачи построения оптимального портфеля часто используются различные меры рисков, такие как дисперсия, VaR, CVaR, DaR, CDaR. Существуют различные постановки задач оптимизации, где меры рисков используются как при построении целевых функций, так и для определения множества допустимых решений (ограничения)^[4]. Для решения подобных задач на практике используются специализированные пакеты численной оптимизации, например, PSG.

См. также

• Волатильность

Примечания