0,(9) или 0,999… ( , ) («ноль и девять в периоде») — периодическая десятичная дробь, представляющая число 1. Другими словами,
Существует несколько доказательств этого равенства, основанных на понятии предела.
Рациональная дробь (например, ) в десятичном виде часто может быть представлена только как периодическая десятичная дробь. Выполнив деление столбиком целого числа 1 на целое число 3, получим число 0,333… (в десятичной записи), в котором цифры 3 повторяются бесконечно:
Умножая последнее на число 3 заметим, что умножение каждой тройки на 3 даёт девятку:
Заменив 0,333… на 1⁄3, получим:
При умножении десятичного числа на число 10 цифры не меняются, запятая передвигается на одну цифру вправо:
Произведение 9,999… на 9 больше, чем множитель 0,999…; убедимся в этом, отняв 0,999… от 9,999…; дробная часть разности будет равна нулю, так как 9-9 = 0 для каждого разряда дробной части:
Так как два числа равны, если их разность равна нулю, то равенство
будет верно, если разность чисел 1 и 0,(9) будет равна нулю:
Докажем последнее равенство. Сперва найдем разность 1 и 0,9 (первая итерация):
Затем найдём разность 1 и 0,99 (вторая итерация):
После чего по той же схеме определим разность 1 и 0,999 (третья итерация):
И так далее.
Для каждой новой итерации значение вычитаемого будет стремиться к 0,(9), а разность — к нулю. В общем случае данную ситуацию можно записать следующим образом:
где:
Для нахождения разности 1-0,(9) положим значение номера итерации равным бесконечности:
Тогда
то есть, формально, в дробной части искомой разности имеется бесконечное количество нолей, после которых следует единица:
Если после запятой находится бесконечное множество цифр (в данном случае — нулей), то в следующий после нулей разряд невозможно вписать больше ни одной цифры, поскольку такого разряда не существует. В данном случае дробная часть разницы будет состоять из бесконечного количества нулей, а, следовательно, единицы после нулей не будет.
Стоит отметить, что если рассматривать множество гиперреальных чисел, то единицу после бесконечности нулей можно считать бесконечно малым числом, однако так как мы рассматриваем вещественные числа, то в таких случаях, например в нестандартном анализе, используют функцию, округляющую до ближайшего вещественного, меньшего по модулю[источник не указан 569 дней].
Таким образом разность будет представлена в виде чистой периодической дроби с нулевой целой частью и периодом, состоящим из одного нуля: 0,(0), что является представлением числа 0 в виде периодической десятичной дроби:
Таким образом,
а значит
Число 0,999… в общем виде можно записать как последовательность цифр где — цифра, стоящая в i‑ом разряде.
В соответствии с определением десятичной системы счисления, посчитаем сумму ряда
Применив теорему о сумме сходящейся геометрической прогрессии[3]:
получим:
Такое доказательство (об эквивалентности чисел 10 и 9,999…) было опубликовано в 1770 году Леонардом Эйлером в издании «Элементы алгебры »[4].
Формула суммы сходящейся геометрической прогрессии была известна до Эйлера. В выпущенном в 1811 году учебнике «An Introduction to Algebra» также используется геометрическая прогрессия для числа 0,(9)[5]. В XIX веке реакция на такое правило суммирования вылилась в утверждение о том, что сумма ряда должна быть пределом последовательности частичных сумм[6].
Последовательность (x0, x1, x2, …) имеет предел, равный x, тогда и только тогда, когда величина бесконечна мала с ростом n. Утверждение 0.999… = 1 может быть интерпретировано как предел[7]:
Последнее преобразование ( ) выполняется на основании того, что вещественные числа удовлетворяют аксиоме Архимеда.
Равенство находит применение, например, в элементарной теории чисел. В 1802 году H. Goodwin опубликовал наблюдение, обнаруженное им при делении чисел на простые числа. Например:
Миди (M. E. Midy) в 1836 году обобщил данные наблюдения до теоремы Миди.
Автор новостной колонки «The Straight Dope» доказывает равенство 1 = 0,999… с помощью дроби 1⁄3 и пределов, говоря о непонимании:
Низший примат в нас упирается, говоря: ,999~ на самом деле представляет не число, а процесс. Чтобы найти число мы должны остановить этот процесс. И в этот момент равенство ,999~ = 1 просто разваливается.
— Чушь[8].
Вопрос о равенстве 1 = 0,999… стал такой популярной темой в первые семь лет форумов «Battle.net», что компания «Blizzard Entertainment» выпустила «пресс-релиз» на День дураков 2004 года:
Мы очень рады закрыть книгу на этой теме раз и навсегда. Мы были свидетелями страдания и беспокойства насчёт того, ,999~ равняется 1 или же нет, и мы с гордостью представляем следующее доказательство, решаюшее эту проблему для наших покупателей[9].
Далее следуют доказательства, основанные на пределах и умножении на число 10.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .