WikiSort.ru - Не сортированное

ПОИСК ПО САЙТУ | о проекте

Теория Ходжа занимается изучением дифференциальных форм на гладких многообразиях. Более конкретно, эта теория изучает, каким образом обобщённый лапласиан, ассоциированный с римановой метрикой на многообразии M, влияет на его группы когомологий с вещественными коэффициентами.

Эта теория была разработана Вильямом Ходжем в 1930-х годах как обобщение когомологий де Рама. Теория Ходжа имеет основные приложения на трёх уровнях:

В ранних работах многообразие M предполагалось замкнутым (то есть компактным и без края). На всех трёх уровнях теория оказала большое влияние на последующие работы, будучи использована Кунихико Кодайрой, и, позднее, многими другими.

Приложения и примеры

Когомологии де Рама

Самим Ходжем данная теория формулировалась для комплексов де Рама. Если M — компактное ориентируемое многообразие, снабжённое гладкой метрикой g, и Ω^k(M) — пучок гладких дифференциальных форм степени k на M, то комплекс де Рама — это последовательность дифференциальных операторов

0\rightarrow \mathbb {R} {\xrightarrow {d_{-1}}}\Omega ^{0}(M){\xrightarrow {d_{0}}}\Omega ^{1}(M){\xrightarrow {d_{1}}}\cdots {\xrightarrow {d_{n-1}}}\Omega ^{n}(M){\xrightarrow {d_{n}}}0

где d_k обозначает внешнюю производную на Ω^k(M). Тогда когомологии де Рама — это просто последовательность векторных пространств, определённых как

H^{k}(M)={\frac {\ker d_{k}}{\mathrm {im} \,d_{k-1}}}.

Можно определить оператор, формально сопряжённый внешней производной (внешнему дифференциалу) d, называемый кодифференциалом и обозначаемый $\delta :$ достаточно потребовать, чтобы для всех α ∈ Ω^k(M) и β ∈ Ω^k+1(M) выполнялось соотношение

\int _{M}\langle d\alpha ,\beta \rangle _{k+1}\,dV=\int _{M}\langle \alpha ,\delta \beta \rangle _{k}\,dV

где $\langle \ ,\ \rangle _{k}$ — метрика, индуцированная на $\Omega ^{k}(M)$ . Теперь лапласиан можно определить как $\Delta =d\delta +\delta d$ . Это позволяет определить пространства гармонических форм:

{\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M)=\{\alpha \in \Omega ^{k}(M)\mid \Delta \alpha =0\}.

Можно показать, что $d{\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M)=0$ , поэтому существует каноническое отображение $\varphi :{\mathcal {H}}_{\Delta }^{k}(M)\rightarrow H^{k}(M)$ . Первая часть теоремы Ходжа утверждает, что $\varphi$ — это изоморфизм векторных пространств.

Одно из главных следствий этого состоит в том, что группы когомологий де Рама на компактном многообразии конечномерны. Это следует из того, что операторы $\Delta$ эллиптические, а ядро эллиптического оператора на компактном многообразии всегда конечномерно.

Теория Ходжа для эллиптических комплексов

Структуры Ходжа

Абстрактное определение (вещественных) структур Ходжа таково: для вещественного векторного пространства $W$ структура Ходжа на $W$ — это разложение его комплексификации $W^{\mathbb {C} }=W\otimes \mathbb {C}$ в $\mathbb {N}$ -градуированную прямую сумму

W^{\mathbb {C} }=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\bigoplus _{p=0}^{k}W^{p,k-p}

причём комплексное сопряжение на $W^{\mathbb {C} }$ переставляет градуированные слагаемые $W^{p,q}$ и $W^{q,p}$ :

{\overline {W^{p,q}}}=W^{q,p}

Основное утверждение состоит в том, что группы сингулярных когомологий с вещественными коэффициентами $H^{k}(V,\mathbb {R} )$ неособого комплексного проективного многообразия $V$ имеют такую структуру Ходжа:

H^{k}=\oplus _{p=0}^{k}H^{p,k-p}

где $H^{p,q}$ — группы когомологий Дольбо многообразия $V$ . Отсюда следует связь между числами Бетти $b_{k}=\dim H^{k}$ и $h_{p,q}=\dim H^{p,q}$ :

b_{k}=\sum _{p=0}^{k}h_{p,k-p}

Изначально разложение Ходжа возникло из теории гармонических форм (собственных векторов лапласиана в пространстве дифференциальных форм), обобщающих локально постоянные гармонические функции. Доказывается, что каждый класс сингулярных когомологий представим единственной гармонической формой, и что такая форма обязательно имеет корректно определённую биградуировку $(p,q)$ (относительно действия оператора комплексной структуры). Отсюда следует разложение Ходжа. В дальнейшем разложение Ходжа было получено чисто алгебраически, с помощью теории спектральных последовательностей и групп когомологий пучков $H^{q}(V,\Omega ^{p})$ , в работах Дольбо.

В случае некомпактных многообразий или многообразий с особенностями необходимо заменить структуру Ходжа на смешанную структуру Ходжа, отличающуюся тем, что разложение сингулярных когомологий в прямую сумму заменяется на пару фильтраций. Этот случай используется, например, в теории монодромии.

Литература

Ф. Гриффитс, Дж. Харрис. Принципы алгебраической геометрии. — ИО НФМИ, 2000. — Т. 1. — 496 с. — ISBN 5-80323-126-6.
К. Вуазен. Теория Ходжа и комплексная алгебраическая геометрия. — М.: МЦНМО, 2010. — Т. 1. — 344 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-514-6.

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2025
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии