WikiSort.ru - Не сортированное

Теоре́ма Колмого́рова в математической статистике уточняет скорость сходимости выборочной функции распределения к её теоретическому аналогу.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots }$  — бесконечная выборка из распределения, задаваемого непрерывной функцией распределения ${\displaystyle F(x)}$ . Пусть ${\displaystyle F_{n}(x)}$  — выборочная функция распределения, построенная на первых ${\displaystyle n}$ элементах выборки. Тогда

${\displaystyle {\sqrt {n}}\sup \limits _{x\in \mathbb {R} }\left|F_{n}(x)-F(x)\right|\to K}$ по распределению при ${\displaystyle n\to \infty }$ ,

где K — случайная величина, имеющая распределение Колмогорова.

Определение границ доверительной зоны

Теорема Колмогорова очень часто применяется, чтобы определить границы, в которые с заданной вероятностью попадает теоретическая функция ${\displaystyle F(x)}$ :

${\displaystyle P({\sqrt {n}}D_{n}\leq k_{\gamma })=P\left(F_{n}(x)-{\frac {k_{\gamma }}{\sqrt {n}}}\leq F(x)\leq F_{n}(x)+{\frac {k_{\gamma }}{\sqrt {n}}},x\in \mathbb {R} \right){\xrightarrow {n\to \infty }}K(k_{\gamma })=\gamma ,}$

${\displaystyle D_{n}=\sup _{x}|F_{n}(x)-F(x)|,}$ где ${\displaystyle k_{\gamma }}$  — квантиль уровня ${\displaystyle \gamma }$ закона распределения Колмогорова.

Таким образом с вероятностью ${\displaystyle \gamma }$ при ${\displaystyle n\to \infty \quad F(x)}$ находится в указанном интервале.

Вероятность ${\displaystyle \gamma }$ называют уровнем значимости.

Область, определяемую этими границами, называют асимптотической ${\displaystyle \gamma }$ -доверительной зоной для теоретической функции распределения.

См. также

• Критерий согласия Колмогорова
• Распределение Колмогорова
• Теорема Гливенко — Кантелли.

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.