WikiSort.ru - Не сортированное

Радиа́н (русское обозначение: рад, международное: rad; от лат. radius — луч, радиус) — угол, соответствующий дуге, длина которой равна её радиусу^[1]. Единица измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ), а также в системах единиц СГС и МКГСС^[2].

Радианная мера — угловая мера, в которой за единицу принимается угол в 1 радиан. Для примера: прямой угол в градусной мере имеет 90 угловых градусов (по договоренности, это ниоткуда не следует). Тот самый угол в радианной мере имеет ${\displaystyle \pi /2}$ радиан = 1,571 радиан.^[3]. Из определения следует, что величина полного угла в радианной мере равна 2π радиан (см. рис. справа). В градусной мере полный угол имеет 360 угловых градусов.

Определить радианную меру можно и так: радианная мера угла — отношение длины дуги окружности, находящейся между сторонами угла, к радиусу этой окружности, когда центр окружности совпадает с вершиной угла. В геометрии для определения радианной меры угла используют единичную окружность с центром в вершине угла; тогда радианная мера угла равна длине дуги единичной окружности между сторонами угла^[4][5].

Поскольку длина дуги окружности пропорциональна её угловой мере и радиусу, длина дуги окружности радиуса R и угловой величины α, измеренной в радианах, равна α ∙ R.

Так как величина угла, выраженная в радианах, равна отношению длины дуги окружности (м) к длине её радиуса (м), угол в радианном измерении — величина безразмерная.

Радиан в Международной системе единиц (СИ)

В качестве единицы измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ) радиан был принят XI Генеральной конференцией по мерам и весам в 1960 году одновременно с принятием системы СИ в целом^[6]. В настоящее время в системе СИ радиан квалифицируется как когерентная^[7] безразмерная производная единица СИ, имеющая специальные наименование и обозначение. Русское обозначение — рад, международное — rad^[8].

Безразмерность плоского угла означает, что единицей его измерения является число один. Однако, применительно к плоскому углу единице «один» было присвоено специальное наименование «радиан» для того, чтобы в каждом конкретном случае облегчить понимание того, какая именно величина имеется в виду^[9].

Связь радиана с другими единицами

Пропорциональное соотношение радиана с другими единицами измерения углов описывается формулой:

• 1 радиан = 1/(2π) оборотов = 180/π градусов = 200/π градов.

Очевидно, развернутый угол равен ${\displaystyle 180^{\circ },}$ или ${\displaystyle {\frac {\pi \cdot r}{r}}=\pi }$ радианам. Отсюда вытекает тривиальная формула пересчёта из градусов, минут и секунд в радианы и наоборот.

a[°] = α[рад] × (360° / (2π)) или α[рад] × (180° / π),

α[рад] = a[°] : (180° / π) = a[°] × (π / 180°),

где α[рад] — угол в радианах, a[°] — угол в градусах.

1 рад (или ${\displaystyle p^{\circ }}$ ) = ${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}\approx 57{,}295779513^{\circ }\approx 57^{\circ }17'44{,}806''}$ (мнемоническое правило запоминания в градусах-минутах-секундах: "Число радиана и порядок шутя пишу наизусть", где число букв в каждом слове равно соответствующей цифре в записи значения радиана, до десятой доли угловой секунды)

${\displaystyle p'}$ (или 1 рад в минутах) = ${\displaystyle {\frac {360^{\circ }\cdot 60'}{2\pi }}\approx 3437{,}747'}$

${\displaystyle p''}$ (или 1 рад в секундах) = ${\displaystyle {\frac {360^{\circ }\cdot 60'\cdot 60''}{2\pi }}\approx 206264{,}8''.}$

В метрической системе угловых мер прямой угол делится на 100 градов и каждый град на 100 сантиградов, который, в свою очередь, делится на сотые доли сантиграда, так что
${\displaystyle p^{\backprime \backprime }}$ (или 1 рад в сотых долях «сантиграда») = ${\displaystyle {\frac {400\cdot 100\cdot 100}{2\pi }}=636620.}$
Употреблять его практически не приходится, так как метрическая система угловых мер пока не получила широкого распространения.

Чтобы легче запомнить, как переводят радианы в градусы и обратно, заметим:
Переводя радианы в градусы (или в минуты, или в секунды), мы из отвлеченного числа (${\displaystyle \mathrm {rad} }$ ) делаем именованное (${\displaystyle p^{\circ },p',p''}$ ) и поэтому должны множить на ${\displaystyle p^{\circ }~(}$ или ${\displaystyle p',p'')}$ ;
Переводя градусы в радианы, мы, наоборот, уничтожаем наименование: получаем отвлечённое число; значит, здесь надо делить на ${\displaystyle p^{\circ }~(}$ или ${\displaystyle p',p''),}$ либо же умножать на перевёрнутую дробь ${\displaystyle {\frac {1}{p^{\circ }}}~({\frac {1}{p'}},{\frac {1}{p''}}).}$

Пример 1. Перевести в радианы ${\displaystyle 5^{\circ }43'46''.}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}[\mathrm {rad} ]\eqcirc 5^{\circ }={\frac {5^{\circ }}{\displaystyle {p^{\circ }}}}~\mathrm {rad} =0{,}0872_{6}}$ ^[10]

${\displaystyle 43'={\frac {43'}{p'}}~\mathrm {rad} =0{,}0125_{08}}$ ^[10]

${\displaystyle 46''={\frac {46''}{p''}}~\mathrm {rad} =0{,}0002_{23}}$ ^[10]

${\displaystyle \sum \approx 0{,}0999_{9}~\mathrm {rad} }$ ^[10] ${\displaystyle =0{,}1~\mathrm {rad} }$

Альтернативный способ предусматривает перевод минут и секунд в десятичные (сотые и десятитысячные) доли градуса,
и однократного деления на ${\displaystyle p^{\circ }:}$ (как правило, этот способ более точен)

${\displaystyle 46''={\frac {46''}{60''}}=0{,}{\boldsymbol {77}}'}$

${\displaystyle 43{,}{\boldsymbol {77}}'={\frac {43{,}77'}{60'}}=0{,}{\boldsymbol {7295}}^{\circ }}$

${\displaystyle \sum =5{,}{\boldsymbol {7295}}^{\circ }}$

${\displaystyle 5{,}7295^{\circ }={\frac {5{,}7295^{\circ }}{p^{\circ }}}~\mathrm {rad} ={\frac {5{,}7295^{\circ }}{\displaystyle {57{,}295^{\circ }}}}=0{,}1~\mathrm {rad} }$

Пример 2. Перевести в градусы 1 радиан.

${\displaystyle a[^{\circ }]\eqcirc 1\cdot {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}=1\cdot 57{,}29578^{\circ }=57{,}{\boldsymbol {29578}}^{\circ }}$

${\displaystyle 0{,}{\boldsymbol {29578}}^{\circ }\cdot 60'=17{,}{\boldsymbol {7468}}'}$

${\displaystyle 0{,}{\boldsymbol {7468}}'\cdot 60''=44{,}807''\approx 45''}$

Итого ${\displaystyle \approx 57^{\circ }17'45''.}$

Радианная мера в математическом анализе

При рассмотрении тригонометрических функций в математическом анализе всегда считается, что аргумент выражен в радианах, что упрощает запись; при этом само обозначение рад (rad) часто опускается.

При малых углах синус и тангенс угла, выраженного в радианах, приблизительно равны самому углу (в радианах), что удобно при приближённых вычислениях. При углах менее ${\displaystyle 0{,}1~\mathrm {rad} ~(5^{\circ }43'{,}77)}$ , приближение можно считать верным до третьего знака после запятой. Если угол меньше ${\displaystyle 0{,}01~\mathrm {rad} ~(0^{\circ }34'{,}38)}$ , — то до шестого знака после запятой^[11]:

${\displaystyle \sin \alpha \approx \operatorname {tg} \,\alpha \approx \alpha .}$

История

Первое использование радиана вместо углового градуса обычно приписывают Роджеру Котсу (XVIII век), который считал эту единицу измерения угла наиболее естественной^[12]. Однако идея измерять длину дуги радиусом окружности использовалась и другими математиками. Например, Аль-Каши использовал единицу измерения, названную им «часть диаметра», которая равнялась 1/60 радиана. Также им использовались и более мелкие производные единицы^[13].

Термин «радиан» впервые появился в печати 5 июня 1873 года в экзаменационных билетах, составленных Джеймсом Томсоном из Университета Квинса в Белфасте. Томсон использовал термин не позднее 1871 года, в то время как Томас Мьюр из Сент-Эндрюсского университета в 1869 году колебался в выборе между терминами «рад», «радиал» и «радиан». В 1874 году Мьюр, после консультаций с Джеймсом Томсоном, решил использовать термин «радиан»^[14][15][16].

См. также

• Град, минута, секунда
• Градус, минута, секунда
• Оборот (единица измерения)
• Парсек
• Стерадиан
• Тысячная (угол)

Примечания

Литература

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — Наука, 1965. — С. 340—343. — 424 с.
• Гельфанд И. М., Львовский С. М., Тоом А. Л. Тригонометрия. — М.: МЦНМО, 2002. — С. 7—8. — 199 с. — ISBN 5-94057-050-X.

В другом языковом разделе есть более полная статья Radian (англ.). Вы можете помочь проекту, расширив текущую статью с помощью перевода. При этом, для соблюдения правил атрибуции, следует установить шаблон {{переведённая статья}} на страницу обсуждения, либо указать ссылку на статью-источник в комментарии к правке.