WikiSort.ru - Не сортированное

В математике, преобразование Ханкеля порядка ν функции f(r) задаётся формулой:

${\displaystyle F_{\nu }(k)=\int \limits _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)\,r\,dr}$

где J_ν — функция Бесселя первого рода порядка ν и ν ≥ −1/2. Обратным преобразованием Ханкеля функции F_ν(k) называют следующее выражение:

${\displaystyle f(r)=\int \limits _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)k~dk}$

которое можно проверить с помощью ортогональности, описанной ниже. Преобразование Ханкеля является интегральным преобразованием. Оно было изобретено Германом Ханкелем и известно также под именем преобразование Бесселя — Фурье.

Область определения

Преобразование Ханкеля функции ${\displaystyle f(r)}$ верно для любых точек на интервале ${\displaystyle (0,\infty )}$ , в которых функция ${\displaystyle f(r)}$ непрерывна или кусочно-непрерывна с конечными скачками, и интеграл

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }|f(r)|\,r^{1/2}\,dr}$

конечен.

Возможно также расширить это определение (подобно тому, как это делается для преобразования Фурье), включив в него некоторые функции, интеграл которых бесконечен (например, ${\displaystyle f(r)=r}$ ).

Ортогональность

Функции Бесселя формируют ортогональный базис с весом r:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }J_{\nu }(kr)J_{\nu }(k'r)r\,dr={\frac {\delta (k-k')}{k}}}$

для k и k' больше чем ноль.

Преобразование Ханкеля некоторых функций

${\displaystyle f(r)}$	${\displaystyle F_{0}(k)}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \delta (k)}$
${\displaystyle r}$	${\displaystyle -1/k^{3}}$
${\displaystyle r^{3}}$	${\displaystyle 9/k^{5}}$
${\displaystyle r^{m}}$	${\displaystyle {\frac {2^{m+1}\Gamma (m/2+1)}{k^{m+2}\Gamma (-m/2)}}}$ для нечётных m ${\displaystyle 0}$ ??? для четных m.
${\displaystyle e^{iar}}$	${\displaystyle {\frac {-ia{\sqrt {k^{2}-a^{2}}}}{(k^{2}-a^{2})^{2}}}}$
${\displaystyle e^{a^{2}r^{2}/2}}$	${\displaystyle {\frac {-e^{k^{2}/2a^{2}}}{a^{2}}}}$

См

• Преобразование Фурье

Ссылки

• Gaskill, Jack D., «Linear Systems, Fourier Transforms, and Optics», John Wiley & Sons, New York, 1978. ISBN 0-471-29288-5
• Polyanin, A. D. and Manzhirov, A. V., Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4