WikiSort.ru - Не сортированное

Функции Бесселя первого рода

Функциями Бесселя первого рода, обозначаемыми ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ , являются решения, конечные в точке ${\displaystyle x=0}$ при целых или неотрицательных ${\displaystyle \alpha }$ . Выбор конкретной функции и её нормализации определяются её свойствами. Можно определить эти функции с помощью разложения в ряд Тейлора около нуля (или в более общий степенной ряд при нецелых ${\displaystyle \alpha }$ ):

${\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }}$

Здесь ${\displaystyle \Gamma (z)}$  — это гамма-функция Эйлера, обобщение факториала на нецелые значения. График функции Бесселя похож на синусоиду, колебания которой затухают пропорционально ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x}}}}$ , хотя на самом деле нули функции расположены не периодично.

Ниже приведены графики ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ для ${\displaystyle \alpha =0,1,2}$ :

Если ${\displaystyle \alpha }$ не является целым числом, функции ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ и ${\displaystyle J_{-\alpha }(x)}$ линейно независимы и, следовательно, являются решениями уравнения. Но если ${\displaystyle \alpha }$ целое, то верно следующее соотношение:

${\displaystyle J_{-\alpha }(x)=(-1)^{\alpha }J_{\alpha }(x)}$

Оно означает, что в этом случае функции линейно зависимы. Тогда вторым решением уравнения станет функция Бесселя второго рода (см. ниже).

Функции Неймана

Функции Неймана — решения ${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$ уравнения Бесселя, бесконечные в точке ${\displaystyle x=0}$ .

Эта функция связана с ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ следующим соотношением:

${\displaystyle Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}},}$

где в случае целого ${\displaystyle \alpha }$ берётся предел по ${\displaystyle \alpha }$ , вычисляемый, например, с помощью правила Лопиталя.

Функции Неймана также называются функциями Бесселя второго рода. Линейная комбинация функций Бесселя первого и второго родов являет собой полное решение уравнения Бесселя:

${\displaystyle y(x)=C_{1}J_{\alpha }(x)+C_{2}Y_{\alpha }(x).}$

Ниже приведён график ${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$ для ${\displaystyle \alpha =0,1,2}$ :

Ортогональность

Пусть ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}}$ - нули функции Бесселя ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ . Тогда^[1]:

${\displaystyle \int _{0}^{1}{xJ_{\alpha }(\mu _{1}x)J_{\alpha }(\mu _{2}x)dx}=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{;}}\quad \mu _{1}\neq \mu _{2}\\\\{\frac {1}{2}}(J'_{\alpha }(\mu _{1}))^{2}&{\mbox{;}}\quad \mu _{1}=\mu _{2}\end{matrix}}\right.}$ .

Асимптотика

Для функций Бесселя первого и второго рода известны асимптотические формулы. При малых аргументах ${\displaystyle (0<x\ll {\sqrt {\alpha +1}})}$ и неотрицательных ${\displaystyle \alpha }$ они выглядят так^[2]:

${\displaystyle J_{\alpha }(x)\rightarrow {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}$

${\displaystyle Y_{\alpha }(x)\rightarrow \left\{{\begin{matrix}{\frac {2}{\pi }}\left[\ln(x/2)+\gamma \right]&{\mbox{;}}\quad \alpha =0\\\\-{\frac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\frac {2}{x}}\right)^{\alpha }&{\mbox{;}}\quad \alpha >0\end{matrix}}\right.}$ ,

где ${\displaystyle \gamma }$  — постоянная Эйлера — Маскерони (0,5772…), а ${\displaystyle \Gamma }$  — гамма-функция Эйлера. Для больших аргументов (${\displaystyle x\gg |\alpha ^{2}-1/4|}$ ) формулы выглядят так:

${\displaystyle J_{\alpha }(x)\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\cos \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}$

${\displaystyle Y_{\alpha }(x)\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\sin \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right).}$

Гипергеометрический ряд

Функции Бесселя могут быть выражены через гипергеометрическую функцию:

${\displaystyle J_{\alpha }(z)={\frac {(z/2)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}(\alpha +1;-z^{2}/4).}$

Таким образом, при целых ${\displaystyle \alpha }$ функция Бесселя однозначная аналитическая, а при нецелых — многозначная аналитическая.

Производящая функция

Существует представление для функций Бесселя первого рода и целого порядка через коэффициенты ряда Лорана функции определённого вида, а именно

${\displaystyle e^{{\frac {z}{2}}\left(w-{\frac {1}{w}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }J_{n}(z)w^{n}}$

Формула Якоби — Ангера и связанные с ней

Получается выражения для производящей при ${\displaystyle a=1}$ , ${\displaystyle t=e^{i\phi }}$ :^[3]

${\displaystyle e^{iz\sin \phi }=J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(z)\cos(2n\phi )+2i\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n-1}(z)\sin(2n-1)\phi .}$

При ${\displaystyle a=1}$ , ${\displaystyle t=ie^{i\phi }}$ :^[3]

${\displaystyle e^{iz\cos \phi }=J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }i^{n}J_{n}(z)\cos(n\phi ).}$

Теорема сложения

Для любого целого n и комплексных ${\displaystyle z_{1}}$ , ${\displaystyle z_{2}}$ выполняется^[4]

${\displaystyle J_{n}(z_{1}+z_{2})=\sum _{k=-\infty }^{\infty }J_{k}(z_{1})J_{n-k}(z_{2}).}$

Интегральные выражения

Для любых ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ (в том числе комплексных) выполняется^[5]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-at}J_{n}(bt)\mathrm {d} t={\frac {b^{n}}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a)^{n}}}.}$

Частным случаем последней формулы является выражение

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-at}J_{0}(bt)\mathrm {d} t={\frac {1}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$