WikiSort.ru - Не сортированное

Преде́л — одно из основных понятий математического анализа. Различают предел последовательности и предел функции.

Понятие предела на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине XVII века Ньютоном, а также математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.

История

Интуитивное понятие о предельном переходе использовалось еще учеными Древней Греции при вычислении площадей и объемов различных геометрических фигур. Методы решения таких задач в основном были развиты Архимедом.

При создании дифференциального и интегрального исчислений математики XVII века (и, прежде всего, Ньютон) также явно или неявно использовали понятие предельного перехода. Впервые определение понятия предела было введено в работе Валлиса «Арифметика бесконечных величин» (XVII век), однако исторически это понятие не лежало в основе дифференциального и интегрального исчислений.

Лишь в XIX веке в работах Коши теория пределов была использована для строгого обоснования математического анализа. Дальнейшей разработкой теории пределов занимались Вейерштрасс и Больцано.

С помощью теории пределов во второй половине XIX века было, в частности, обосновано использование в анализе бесконечных рядов, которые явились удобным аппаратом для построения новых функций.

Предел последовательности

Пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются с ростом номера.

Число ${\displaystyle a}$ называется пределом последовательности ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n},...}$ , если

${\displaystyle \forall }$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ , ${\displaystyle \exists }$ ${\displaystyle N(\epsilon )}$ , ${\displaystyle \forall }$ ${\displaystyle n>N(\epsilon )}$ : ${\displaystyle |x_{n}-a|<\epsilon }$ .

Предел последовательности обозначается ${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }x_{n}}$ . Куда именно стремится ${\displaystyle n}$ , можно не указывать, поскольку ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \in \mathbb {N} }$ , оно может стремиться только к ${\displaystyle +\infty }$ .

Свойства:

• Если предел последовательности существует, то он единственный.
• ${\displaystyle \lim c=c}$ ${\displaystyle ,c-const}$
• ${\displaystyle \lim(x_{n}+y_{n})=\lim x_{n}+\lim y_{n}}$ (если оба предела существуют)
• ${\displaystyle \lim(qx_{n})=q\lim x_{n}}$ ${\displaystyle ,q-const}$
• ${\displaystyle \lim(x_{n}y_{n})=\lim x_{n}\lim y_{n}}$ (если оба предела существуют)
• ${\displaystyle \lim(x_{n}/y_{n})=\lim x_{n}/\lim y_{n}}$ (если оба предела существуют и знаменатель правой части не ноль)
• Если ${\displaystyle a_{n}>x_{n}>b_{n}\forall n}$ и ${\displaystyle \lim a_{n}=\lim b_{n}}$ , то ${\displaystyle \lim x_{n}=\lim a_{n}=\lim b_{n}}$ (теорема «о зажатой последовательности», также известная, как «теорема о двух милиционерах»)

Предел функции

Функция ${\displaystyle f(x)}$ имеет предел ${\displaystyle A}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ , если для всех значений ${\displaystyle x}$ , достаточно близких к ${\displaystyle x_{0}}$ , значение ${\displaystyle f(x)}$ близко к ${\displaystyle A}$ .

Число b называется пределом функции f(x) в точке a, если ${\displaystyle \forall \epsilon >0}$ существует ${\displaystyle \delta >0}$ , такое что ${\displaystyle \forall x,0<|x-a|<\delta }$ выполняется ${\displaystyle |f(x)-b|<\epsilon }$ .

Для пределов функций справедливы аналогичные свойства, как и для пределов последовательностей, например, ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}(f(x)+g(x))=\lim _{x\to x_{0}}f(x)+\lim _{x\to x_{0}}g(x)}$ , если все члены существуют.

Обобщенное понятие предела последовательности

Пусть ${\displaystyle X}$  — некоторое множество, в котором определено понятие окрестности ${\displaystyle U}$ (например, метрическое пространство). Пусть ${\displaystyle x_{i}\in X}$  — последовательность точек (элементов) этого пространства. Говорят, что ${\displaystyle x\in X}$ есть предел этой последовательности, если в любой окрестности точки ${\displaystyle x}$ лежат почти все члены последовательности то есть ${\displaystyle \forall U(x)\exists n\forall i>nx_{i}\in U(x)}$

См. также

• Частичный предел
• Замечательные пределы
• Фундаментальная последовательность
• Ряд
• Неопределённости пределов
• Сравнение бесконечно малых величин
• Последовательность
• Список пределов
• Ультрапредел

Примечания