WikiSort.ru - Не сортированное

Ультрапредел — конструкция, позволяющая определить предел для широкого класса математических объектов. В частности, она работает для числовых последовательностей и последовательностей точек в метрическом пространстве, допускает обобщения на последовательности  метрических пространств и последовательности функций на них.

Эта конструкция часто используется, чтобы избежать многократного перехода к подпоследовательности.

Эта конструкция использует существование неглавного ультрафильтра, доказательство которого в свою очередь использует аксиому выбора.

Неглавный ультрафильтр

Напомним, что ультрафильтр ${\displaystyle \omega }$ на множестве натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$  — это множество подмножеств множества ${\displaystyle \mathbb {N} }$ , которое замкнуто относительно операции пересечения и перехода к надмножеству, и для любого подмножества ${\displaystyle X\subset \mathbb {N} }$ оно содержит либо ${\displaystyle X}$ , либо дополнение ${\displaystyle \mathbb {N} \backslash X}$ .

Ультрафильтр называтся неглавным, если он не содержит конечных множеств.

Ультрапредел точек

Пусть ${\displaystyle \omega }$  — неглавный ультрафильтр на множестве натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$ .

Если ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ — последовательность точек в метрическом пространстве ${\displaystyle M}$ , то точка ${\displaystyle x_{\omega }\in M}$ называется ${\displaystyle \omega }$ -пределом ${\displaystyle (x_{n})}$ и обозначается ${\displaystyle x=\lim _{n\to \omega }x_{n}}$ , если для каждого ${\displaystyle \epsilon >0}$ подмножество

${\displaystyle \{\,n\in \mathbb {N} \mid d(x_{n},x)\leqslant \epsilon \,\}}$

содержится в ${\displaystyle \omega }$ .

Свойства

• Если ${\displaystyle \omega }$ -предел последовательности точек существует, то он единственный.
• Если метрическое пространство компактно, то ${\displaystyle \omega }$ -предел любой последовательности точек существует и единственный.
  • В частности, любая ограниченная последовательность вещественных чисел имеет вполне определенный ${\displaystyle \omega }$ -предел в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .
• ${\displaystyle \omega }$ -предел последовательности является частным её пределом.
  • В частности, если ${\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$ , то и в стандартном смысле ${\displaystyle x=\lim _{n\to \omega }x_{n}}$ .
• Ультрапредел последовательности может отличатся от ультрапредела подпоследовательности.
• Равенство

  ${\displaystyle f(\lim _{n\to \omega }x_{n})=\lim _{n\to \omega }f(x_{n})}$

выполняется для произвольной непрерывной функции ${\displaystyle f}$ , определённой в точке ${\displaystyle x_{\omega }=\lim _{n\to \omega }x_{n}}$ .

• В частности:

  ${\displaystyle \lim _{n\to \omega }(x_{n}+y_{n})=\lim _{n\to \omega }x_{n}+\lim _{n\to \omega }y_{n}}$

  ${\displaystyle \lim _{n\to \omega }(x_{n}\cdot y_{n})=(\lim _{n\to \omega }x_{n})\cdot (\lim _{n\to \omega }y_{n})}$

См. также

• Ультрафильтр