WikiSort.ru - Не сортированное

Коническая комбинация (коническая сумма, взвешенная сумма) — операция над конечным набором векторов ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ в евклидовом пространстве, сопоставляющая набору вектор вида:

${\displaystyle \alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}$ ,

где все числа ${\displaystyle \alpha _{i}}$ удовлетворяют условию ${\displaystyle \alpha _{i}\geqslant 0}$ ^[1][2].

Название связано с фактом, что коническая сумма векторов определяет конус (возможно, в подпространстве меньшей размерности).

Коническая оболочка — множество всех конических комбинаций для данного множества ${\displaystyle S}$ , обозначается ${\displaystyle \operatorname {cone} (S)}$ ^[1] или ${\displaystyle \operatorname {coni} (S)}$ ^[2]. То есть:

${\displaystyle \operatorname {coni} (S)={\Bigl \{}\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}x_{i}\;{\Big |}\;x_{i}\in S,\,\alpha _{i}\in \mathbb {R} ,\,\alpha _{i}\geq 0,i,k=1,2,\dots {\Bigr \}}}$ .

По определению начало координат принадлежит всем коническим оболочкам.

Коническая оболочка множества ${\displaystyle S}$ является выпуклым множеством. Фактически, она является пересечением всех выпуклых конусов, содержащих ${\displaystyle S}$ , плюс начало координат^[1]. Если ${\displaystyle S}$ является компактным пространством (в частности, если оно состоит из конечного числа точек), добавление начала координат к пересечению всех выпуклых конусов не требуется.

Всякой ненулевой конической комбинации соответствует выпуклая комбинация с коэффициентами делёнными на сумму коэффициентов исходной комбинации^[1], в этой связи конические комбинации и конические оболочки могут рассматриваться как выпуклые комбинации и выпуклые оболочки в проективном пространстве.

Хотя выпуклая оболочка компактного множества является компактным множеством тоже, это неверно для конической оболочки, так как в общем случае она не ограничена. Более того, коническая оболочка компакта даже не обязательно будет замкнутым множеством — контрпримером служит сфера, проходящая через начало координат, конической оболочкой которой является открытое полупространство плюс начало координат. Однако если ${\displaystyle S}$ является непустым компактным множеством, не содержащим начало координат, коническая оболочка множества ${\displaystyle S}$ является замкнутым множеством^[1].

Примечания

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка.