WikiSort.ru - Не сортированное

Вывод формулы в двумерном случае

Известно, что функция

${\displaystyle u(r,\varphi )=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}(a_{n}\cos n\varphi +{\tilde {a}}_{n}\sin n\varphi )}$

является решением задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Преобразуем это выражение с учётом выражений для коэффициентов Фурье:

${\displaystyle u(r,\varphi )={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )d\psi +{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}\left(\cos n\varphi \int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )\cos n\psi d\psi +\sin n\varphi \int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )\sin(n\psi )d\psi \right)=}$ ${\displaystyle ={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}(\cos n\varphi \cos n\psi +\sin n\varphi \sin n\psi )\right)d\psi +{\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )d\psi =}$ ${\displaystyle ={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )\left({\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}\cos n(\varphi -\psi )\right)d\psi .}$

Последнюю сумму можно вычислить при 0≤r<R:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}\cos n(\varphi -\psi )={\frac {1}{2}}+\operatorname {Re} \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{R}}e^{i(\varphi -\psi )}\right)^{n}={\frac {1}{2}}+\operatorname {Re} {\frac {{\frac {r}{R}}e^{i(\varphi -\psi )}}{1-{\frac {r}{R}}e^{i(\varphi -\psi )}}}=}$ ${\displaystyle ={\frac {1}{2}}+\operatorname {Re} {\frac {{\frac {r}{R}}e^{i(\varphi -\psi )}\left(1-{\frac {r}{R}}e^{-i(\varphi -\psi )}\right)}{1-2{\frac {r}{R}}\cos(\varphi -\psi )+\left({\frac {r}{R}}\right)^{2}}}={\frac {R^{2}-r^{2}}{2\left(R^{2}+r^{2}-2Rr\cos(\varphi -\psi )\right)}}.}$

Таким образом, в преобразованном виде интеграл Пуассона для круга приобретает вид:

${\displaystyle u(r,\varphi )={\frac {R^{2}-r^{2}}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {u_{0}(\psi )d\psi }{R^{2}+r^{2}-2Rr\cos(\varphi -\psi )}},\ r\in [0,R).}$

Также формула может быть получена методом конформных отображений. Действительная и мнимая часть голоморфной на области ${\displaystyle U}$ функции удовлетворяют на ней двумерному уравнению Лапласа. Известно, что при конформном отображении области ${\displaystyle U}$ плоскости ${\displaystyle z=x+iy}$ на область ${\displaystyle V}$ плоскости ${\displaystyle w=\xi +i\eta }$ уравнение Лапласа для функции ${\displaystyle u(x,y)}$ переходит в уравнение ${\displaystyle \triangle u(\xi ,\eta )=0}$ . С помощью дробно-линейной функции легко получить отображение исходного круга радиуса ${\displaystyle R}$ на единичный круг, при котором произвольная точка ${\displaystyle z_{0}=r_{0}e^{i\varphi _{0}}}$ переходит в центр. Такая функция имеет вид:

${\displaystyle w=\rho e^{i\psi }=f(z)=\lambda {\frac {z-z_{0}}{z-{\frac {R^{2}}{{\bar {z}}_{0}}}}}=\lambda {\frac {z-r_{0}e^{i\varphi _{0}}}{z-{\frac {R^{2}}{r_{0}}}e^{i\varphi _{0}}}},}$

где ${\displaystyle \lambda }$ выбирается так, чтобы граничные точки исходного круга перешли в точки ${\displaystyle |w|=1}$ , при этом ${\displaystyle |\lambda |={\frac {R}{r_{0}}}}$ , а ${\displaystyle {arg}(\lambda )}$ произволен. Искомая функция ${\displaystyle u(r,\varphi )}$ перейдёт в функцию ${\displaystyle U(\rho ,\psi )}$ . Граничная функция ${\displaystyle u_{0}(\varphi )}$ перейдёт в ${\displaystyle U_{0}(\psi )=u_{0}(\varphi (1,\psi ))}$ . Тогда по теореме о среднем:

${\displaystyle u(r_{0},\varphi _{0})=U\vert _{w=0}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }U_{0}(\psi )d\psi .}$

Из этого выражения можно получить явное выражение для решения задачи Дирихле в круге, если выразить ${\displaystyle U_{0}(\psi )}$ через ${\displaystyle u_{0}(\varphi )}$ . Для граничных точек круга ${\displaystyle |z|\leqslant R}$ и круга ${\displaystyle |w|\leqslant 1}$ формула дробно-линейного преобразования даёт

${\displaystyle e^{i\psi }={\frac {R}{r_{0}}}{\frac {Re^{i\varphi }-r_{0}e^{i\varphi _{0}}}{Re^{i\varphi }-{\frac {R^{2}}{r_{0}}}e^{i\varphi _{0}}}},}$

откуда

${\displaystyle d\psi ={\frac {R^{2}-r_{0}^{2}}{R^{2}+r_{0}^{2}-2Rr_{0}\cos(\varphi -\varphi _{0})}}d\varphi .}$

Производя замену переменной в интеграле, получим искомое выражение:

${\displaystyle u(r_{0},\varphi _{0})={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {R^{2}-r_{0}^{2}}{R^{2}+r_{0}^{2}-2Rr_{0}\cos(\varphi -\varphi _{0})}}u_{0}(\varphi )d\varphi ,\ r_{0}\in [0,R).}$

Это выражение эквивалентно вышеприведённому:

${\displaystyle u(r,\varphi )={\frac {R^{2}-r^{2}}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {u_{0}(\psi )d\psi }{R^{2}+r^{2}-2Rr\cos(\varphi -\psi )}},\ r\in [0,R).}$

Однородное уравнение

Рассмотрим задачу Коши для однородного уравнения теплопроводности:

где ${\displaystyle \varphi (x)}$ — начальная функция, непрерывная и ограниченная на всём пространстве, и искомая функция ${\displaystyle u=u(x,t)}$ является непрерывной и ограниченной при ${\displaystyle t\geq 0}$ и всех значениях аргумента ${\displaystyle x}$ .

Фундаментальным решением или ядром уравнения теплопроводности называется решение задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности с начальным условием ${\displaystyle \varphi (x)=\delta (x)}$ , где ${\displaystyle \delta (x)}$ — дельта-функция Дирака. Оно имеет вид:

${\displaystyle \Phi (x,t)={\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi t}})^{n}}}\exp {\biggl (}-{\frac {|x|^{2}}{4a^{2}t}}{\biggr )},\ \ x\in \mathbb {R} ^{n},\ t>0.}$

где ${\displaystyle |x|^{2}=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}$ — стандартный скалярный квадрат вектора ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ .

Интеграл Пуассона задает единственное непрерывное и ограниченное решение данной задачи Коши по следующей формуле^[1]:

${\displaystyle u(x,t)=\int \limits _{\mathbf {R} ^{n}}\Phi (x-y,t)\,\varphi (y)\,dy={\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi t}})^{n}}}\int \limits _{\mathbf {R} ^{n}}\exp {\biggl (}-{\frac {|x-y|^{2}}{4a^{2}t}}{\biggr )}\,\varphi (y)\,dy.}$

Неоднородное уравнение

Рассмотрим задачу Коши для неоднородного уравнения теплопроводности:

В этом случае интеграл Пуассона имеет вид^[2]:

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi t}})^{n}}}\int \limits _{\mathbf {R} ^{n}}\exp {\biggl (}-{\frac {|x-y|^{2}}{4a^{2}t}}{\biggr )}\,\varphi (y)\,dy+}$

${\displaystyle +\int \limits _{0}^{t}\int \limits _{\mathbf {R} ^{n}}{\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi (t-s)}})^{n}}}\exp {\biggl (}-{\frac {|x-y|^{2}}{4a^{2}(t-s)}}{\biggr )}\,f(y,s)\,dy\,ds.}$