WikiSort.ru - Не сортированное

Алгебра (универсальная алгебра) — множество ${\displaystyle A}$ , называемое носителем алгебры, снабжённое набором ${\displaystyle n}$ -арных алгебраических операций на ${\displaystyle A}$ , называемым сигнатурой, или структурой алгебры. Иными словами, универсальной алгеброй является алгебраическая система с пустым множеством отношений.

Свойства

Для универсальных алгебр имеет место теорема о гомоморфизме: если ${\displaystyle \varphi :A\rightarrow A'}$  — гомоморфизм алгебр, а ${\displaystyle \theta }$  — ядерная конгруэнция ${\displaystyle \varphi }$ (то есть ${\displaystyle \theta =\{(x,y)\in A\times A|\varphi (x)=\varphi (y)\}}$ , то факторалгебра ${\displaystyle A/\theta }$ изоморфна ${\displaystyle A'}$ .

Для универсальных алгебр исследованы сопутствующие структуры: группа автоморфизмов ${\displaystyle \mathbf {Aut} A}$ , моноид эндоморфизмов ${\displaystyle \mathbf {End} A}$ , решётка подалгебр ${\displaystyle \mathbf {Sub} A}$ , решётка конгруэнций ${\displaystyle \mathbf {Con} A}$ , в частности, показано, что для любой группы ${\displaystyle G}$ и решёток ${\displaystyle L_{0}}$ и ${\displaystyle L_{1}}$ существует такая универсальная алгебра ${\displaystyle A}$ , что ${\displaystyle G\cong \mathbf {Aut} A}$ , ${\displaystyle L_{0}\cong \mathbf {Sub} A}$ , ${\displaystyle L_{1}\cong \mathbf {Con} A}$ .

Универсальная алгебра с одной бинарной алгебраической операцией называется группоидом (магмой).

См. также

• Теоремы об изоморфизме

Литература

• Кон П. Универсальная алгебра. — М.: Мир, 1969. — 351 с.
• Артамонов В. А. и др. Общая алгебра, в 2-х томах. — М.: Наука, 1990—1991. — 592 с + 480 с. с.
• Скорняков Л. А. Универсальная алгебра — статья из Математической энциклопедии

Это заготовка статьи по алгебре. Вы можете помочь проекту, дополнив её.