WikiSort.ru - Не сортированное

ПОИСК ПО САЙТУ | о проекте

Эпсилон-энтропия или ε-энтропия — термин, введённый А. Н. Колмогоровым для характеристики классов функций. Он определяет меру сложности функции, минимальное количество знаков, необходимое для задания функции с точностью .

Логотип Викисловаря
В Викисловаре есть статья «эпсилон-энтропия»

Введение в понятие

Рассмотрим компактное метрическое пространство и зададим в нём эпсилон-сеть, то есть такое конечное (состоящее из точек) множество, что шары радиуса с центрами в этих точках целиком покрывают всё . Тогда для задания любого элемента с точностью (то есть, по сути, выбора одного из узлов сети) достаточно порядка знаков (бит).

Для отрезка величина растёт при уменьшении как , для квадрата как и т. д. Тем самым показатель определяет размерность Минковского множества .

В случае пространства гладких функций (на компактном кубе в -мерном пространстве и с ограниченными константой производными до порядка , чтобы это пространство было компактным) размерность пространства бесконечна, но число элементов сети конечно, хотя оно и растёт быстрее любой (отрицательной) степени величины .

Колмогоров доказал, что логарифм числа точек минимальной -сети растёт в этом случае как .

Применение

Введение понятия эпсилон-энтропии позволило понять и решить 13-ю проблему Гильберта.

Если бы функции переменных, участвующие в суперпозиции, имели гладкость , то с их помощью можно было бы получить для представляемых функций сеть, логарифм числа точек которой был бы порядка . Если это число меньше минимально возможного для функций переменных гладкости , то, значит, предполагавшееся представление суперпозициями функций столь большой гладкости невозможно.

Потом Колмогоров показал, что если отказаться от гладкости и допускать к участию в суперпозиции все непрерывные функции, то любая непрерывная функция от переменных представляется суперпозицией непрерывных функций от всего трёх переменных, а после этого его студент, В. И. Арнольд представил их и суперпозициями непрерывных функций двух переменных. В итоге теорема Колмогорова содержала единственную функцию двух переменных — сумму, а все остальные непрерывные функции, из которых составляется представляющая все непрерывные функции от переменных суперпозиция, зависят каждая лишь от одной переменной.

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .




Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2025
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии