Формула Гаусса — Бонне связывает эйлерову характеристику поверхности с её гауссовой кривизной и геодезической кривизной её границы.
Пусть — компактное двумерное ориентированное риманово многообразие с гладкой границей . Обозначим через гауссову кривизну и через геодезическую кривизну . Тогда
где — эйлерова характеристика .
В частности, если у нет границы, получаем
Если поверхность деформируется, то её эйлерова характеристика не меняется, в то время как гауссова кривизна может меняться поточечно. Тем не менее, согласно формуле Гаусса — Бонне, интеграл гауссовой кривизны остаётся тот же.
Частный случай этой формулы для геодезических треугольников был получен Фридрихом Гауссом[1]. Пьер Бонне[en][2] и Жак Бине независимо обобщили формулу на случай диска ограниченного произвольной кривой; Бине не опубликовал статьи на эту тему, но Бонне упоминаеет об этом на странице 129 своей "Mémoire sur la Théorie Générale des Surfaces". Для неодносвязных областей формула появляется в работе Вальтера фон Дика[3]. Современная формулировка дана Вильгельмом Бляшке[4].
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .