Упаковка тетраэдров — это задача расположения одинаковых правильных тетраэдров в трёхмерном пространстве так, чтобы заполнить как можно большую долю пространства.
На настоящее время лучшей границей плотности упаковки, полученной для оптимальной упаковки правильных тетраэдров, является число 85,63 %[1]. Тетраэдры не замощают пространство[2] и, как известно, верхняя граница заполнения находится ниже 100 % (а именно, 1 − (2,6…)·10−25) [3].
Исторические результаты
Аристотель утверждал, что тетраэдры должны заполнять пространство полностью[4].
В 2006 году Конвей и Торквато показали, что плотность упаковки около 72 % может быть получена построением решётки тетраэдров, не являющейся решёткой Браве (с несколькими частями, имеющими различную ориентацию), и показали, что лучшая упаковка тетраэдров не может быть решёточной упаковкой (с одним элементом на повторяющийся блок и когда каждый элемент имеет одну и ту же ориентацию)[5]. Эти построения почти удваивают оптимальную плотность упаковки на основе решётки Браве, которую получил Хойлман и плотность которой равна 36,73 %[6]. В 2007 и 2010 годах Чайкин с коллегами показали, что похожие на тетраэдр тела могут быть случайным образом упакованы в конечный контейнер с плотностью упаковки между 75 % и 76 %[7]. В 2008 году Чен первым предложил упаковку правильных тетраэдров, которая плотнее упаковки сфер, а именно, 77,86 %[8][9]. Улучшения сделали Торквато и Цзяо в 2009 году, сжав конструкцию Чена с помощью компьютерного алгоритма и получив долю упаковки 78,2021 %[10].
В середине 2009 года Хаджи-Акбари с соавторами показали, используя метод Монте-Карло для первоначально случайной системы с плотностью упаковки >50 %, что равновесный поток твёрдых тетраэдров спонтанно преобразуется в двенадцатиугольный квазикристалл, который может быть сжат до 83,24 %. Они также описали хаотическую упаковку с плотностью, превосходящей 78 %. Для периодической аппроксимации квазикристаллами с ячейкой из 82 тетраэдров они получили плотность упаковки 85,03 %[11].
В конце 2009 года новое, более простое семейство упаковок с плотностью 85,47 % открыли Каллус, Элзер и Гравел[12]. На основе этих упаковок, слегка их улучшив, Торквато и Цзяо в конце 2009 года получили и плотность 85,55 %[13]. В начале 2010 года Чен, Энгел и Глотцер получили плотность 85,63 %[1], и сейчас этот результат является самой плотной упаковкой правильных тетраэдров.
Связь с другими задачами упаковки
Поскольку ранние известные границы плотности упаковки тетраэдров были меньше упаковки шаров, было высказано предположение, что правильный тетраэдр может быть контрпримером гипотезе Улама[en], что оптимальная плотность упаковки одинаковых шаров меньше плотности упаковки любого другого тела. Более поздние исследования показали, что это не так.
См. также
- Задачи упаковки
- Тетрагональные дисфеноидные соты[en] — изоэдральная[en] упаковка неправильных тетраэдров в 3-мерном пространстве.
- Трижды усечённые триакистетраэдральные соты[en] — транзитивная по ячейкам[en] упаковка, основывающаяся на правильных тетраэдрах.
Примечания
- 1 2 Chen, Engel, Glotzer, 2010, с. 253–280.
- ↑ Struik, 1925, с. 121–134.
- ↑ Gravel, Elser, Kallus, 2010, с. 799–818.
- ↑ Polster, Ross, 2011.
- ↑ Conway, 2006, с. 10612–10617.
- ↑ Hoylman, 1970, с. 135–138.
- ↑ Jaoshvili, Esakia, Porrati, Chaikin, 2010, с. 185501.
- ↑ Chen, 2008, с. 214–240.
- ↑ Cohn, 2009, с. 801–802.
- ↑ Torquato, Jiao, 2009, с. 876–879.
- ↑ Haji-Akbari, Engel, Keys, Zheng и др., 2009, с. 773–777.
- ↑ Kallus, Elser, Gravel, 2010, с. 245–252.
- ↑ Torquato, Jiao, 2009.
Литература
- Elizabeth R. Chen, Michael Engel, Sharon C. Glotzer. Dense crystalline dimer packings of regular tetrahedra // Discrete & Computational Geometry. — 2010. — Т. 44, вып. 2. — С. 253–280. — DOI:10.1007/s00454-010-9273-0.
- D. J. Struik. De impletione loci // Nieuw Arch. Wiskd.. — 1925. — Т. 15. — С. 121–134.
- Simon Gravel, Veit Elser, Yoav Kallus. Upper bound on the packing density of regular tetrahedra and octahedral // Discrete & Computational Geometry. — 2010. — Т. 46. — С. 799–818. — DOI:10.1007/s00454-010-9304-x. — arXiv:1008.2830.
- J. H. Conway. Packing, tiling, and covering with tetrahedral // Proceedings of the National Academy of Sciences. — 2006. — Т. 103, вып. 28. — С. 10612–10617. — DOI:10.1073/pnas.0601389103. — . — PMID 16818891.
- Douglas J. Hoylman. The densest lattice packing of tetrahedral // Bulletin of the American Mathematical Society. — 1970. — Т. 76. — С. 135–138. — DOI:10.1090/S0002-9904-1970-12400-4.
- Alexander Jaoshvili, Andria Esakia, Massimo Porrati, Paul M. Chaikin. Experiments on the Random Packing of Tetrahedral Dice // Physical Review Letters. — 2010. — Т. 104, вып. 18. — С. 185501. — DOI:10.1103/PhysRevLett.104.185501. — . — PMID 20482187.
- Elizabeth R. Chen. A Dense Packing of Regular Tetrahedra // Discrete & Computational Geometry. — 2008. — Т. 40, вып. 2. — С. 214–240. — DOI:10.1007/s00454-008-9101-y.
- Henry Cohn. Mathematical physics: A tight squeeze // Nature. — 2009. — Т. 460, вып. 7257. — С. 801–802. — DOI:10.1038/460801a. — . — PMID 19675632.
- S. Torquato, Y. Jiao. Dense packings of the Platonic and Archimedean solids // Nature. — 2009. — Т. 460, вып. 7257. — С. 876–879. — DOI:10.1038/nature08239. — . — arXiv:0908.4107. — PMID 19675649.
- Amir Haji-Akbari, Michael Engel, Aaron S. Keys, Xiaoyu Zheng, Rolfe G. Petschek, Peter Palffy-Muhoray, Sharon C. Glotzer. Disordered, quasicrystalline and crystalline phases of densely packed tetrahedral // Nature. — 2009. — Т. 462, вып. 7274. — С. 773–777. — DOI:10.1038/nature08641. — . — arXiv:1012.5138. — PMID 20010683.
- Yoav Kallus, Veit Elser, Simon Gravel. Dense Periodic Packings of Tetrahedra with Small Repeating Units // Discrete & Computational Geometry. — 2010. — Т. 44. — P. 245–252. — DOI:10.1007/s00454-010-9254-3.
- Torquato, S. & Jiao, Y. (2009), "Analytical Constructions of a Family of Dense Tetrahedron Packings and the Role of Symmetry", arΧiv:0912.4210 [cond-mat.stat-mech]
- Burkard Polster and Marty Ross. Do women have fewer teeth than men? (14 марта 2011).
Ссылки
- Packing Tetrahedrons, and Closing in on a Perfect Fit, NYTimes
- Efficient shapes, The Economist
- Pyramids are the best shape for packing, New Scientist
 | |
|---|---|
| Упаковка кругов | |
| Упаковка шаров | |
| Другие упаковки | |
| Головоломки | |
 | Для улучшения этой статьи желательно: |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .