WikiSort.ru - Не сортированное

Теорема Риба о сфере: Пусть на замкнутом ориентируемом связном многообразии M n существует слоение с особенностями, все особые точки которого изолированы и являются центрами. Тогда M n гомеоморфно сфере Sn, и слоение имеет ровно две особые точки.

Теорема доказана в 1946 году французским математиком Жоржем Рибом.

Морсовское слоение

Изолированная особая точка слоения F называется точкой морсовского типа, если в её малой окрестности все слои являются уровнями некоторой функции Морса, а сама она является критической точкой этой функции.

Особая точка морсовского типа называется центром, если она является локальным экстремумом функции; в противном случае она называется седлом.

Обозначим ind p = min(k, n − k), индекс особенности ${\displaystyle p}$ , где k — индекс соответствующей критической точки морсовской функции. В частности, центр имеет индекс 0, индекс седла по меньшей мере 1.

Морсовское слоение F на многообразии M это особое трансверсально ориентированное слоение коразмерности 1 класса C² с изолированными особенностями, причем:

• все особенности F морсовского типа,
• каждый особый слой L содержит только одну особую точку p; при этом, если ind p = 1 то ${\displaystyle L\setminus p}$ несвязно.

Пусть c — число центров морсовского слоения F, и ${\displaystyle s}$  — число его седел, оказывается, что разность c − s тесно связана с топологией многообразия ${\displaystyle M}$ .

Теорема Риба о сфере

Рассмотрим случай c > s = 0, то есть все особенности являются центрами, седла отсутствуют.

Теорема:^[1] Пусть на замкнутом ориентированном связном многообразии ${\displaystyle M^{n}}$ размерности ${\displaystyle n\geq 2}$ существует ${\displaystyle C^{1}}$ -трансверсально ориентированное слоение ${\displaystyle F}$ коразмерности 1 с непустым множеством изолированных особых точек, которые все являются центрами. Тогда слоение ${\displaystyle F}$ имеет ровно две особые точки, и многообразие ${\displaystyle M^{n}}$ гомеоморфно сфере ${\displaystyle S^{n}}$ .

Этот факт является следствием теоремы Риба об устойчивости.

Обобщения

Более общим является случай ${\displaystyle c>s\geq 0.}$

В 1978 году Вагнер (E. Wagneur) обобщил теорему Риба о сфере на морсовские слоения с седлами. Он показал, что число центров не может быть слишком велико в сравнении с числом седел, а именно, ${\displaystyle c\leq s+2}$ . Таким образом, есть ровно два случая, когда ${\displaystyle c>s}$ :

(1) ${\displaystyle c=s+2,}$

(2) ${\displaystyle c=s+1.}$

Вагнер также описал многообразия, на которых существуют слоения, удовлетворяющие случаю (1).

Теорема^[2]: Пусть на компактном связном многообразии ${\displaystyle M^{n}}$ , существует морсовское слоение ${\displaystyle F}$ с ${\displaystyle c}$ центрами и ${\displaystyle s}$ седлами. Тогда ${\displaystyle c\leq s+2}$ . Если ${\displaystyle c=s+2}$ , то

• ${\displaystyle M^{n}}$ гомеоморфно сфере ${\displaystyle S^{n}}$ ,

• все седла имеют индекс 1,

• каждый неособый слой диффеоморфен сфере ${\displaystyle S^{n-1}}$ .

Наконец, в 2008 году Камачо и Скардуа (C. Camacho, B. Scardua) рассмотрели случай (2), ${\displaystyle c=s+1}$ . Интересно, что этот случай возможен только в некоторых размерностях.

Теорема^[3]: Пусть ${\displaystyle M^{n}}$ компактное связное многообразие и ${\displaystyle F}$  — морсовское слоение на ${\displaystyle M^{n}}$ . Если ${\displaystyle s=c+1}$ , то

• ${\displaystyle n=2,4,8}$ или ${\displaystyle 16}$ ,

• ${\displaystyle M^{n}}$ является многообразием Илса — Койпера (Eells-Kuiper).

Ссылки