WikiSort.ru - Не сортированное

ПОИСК ПО САЙТУ | о проекте

Слоение коразмерности 1 — это разбиение многообразия на непересекающиеся подмножества которые локально выглядят как поверхности уровня гладких регулярных функций.

Определение

На $n$ -мерном многообразии $M$ задано слоение коразмерности 1, если $M$ наделено разбиением на линейно связные подмножества $L_{\alpha }$ со следующим свойством: в окрестности любой точки из $M$ найдется локальная система координат $x^{1},\dots ,x^{n}:U\to \mathbb {R}$ , в которой связные компоненты множества $L_{\alpha }\cap U$ состоят из решений $x^{n}={const}$ .

Множества $L_{\alpha }$ называются слоями слоения, $M$ — его тотальным пространством.

Слои наделяются топологией, базу которой составляют связные компоненты пересечения слоя с открытыми подмножествами тотального многообразразия $M$ . По отношению к этой топологии слой является гладким многообразием, и его включение в тотальное многообразие вложением в слабом смысле.

Связанные определения

Определяющая 1-форма слоения

Определяющая 1-форма слоения в открытом множестве $U\subset M$ — это гладкая 1-форма $\omega$ , не равная нулю в $U$ , ограничение которой на компоненту пересечения любого слоя с $U$ тривиально.

Не всякая ненулевая 1-форма определяет слоение в $U$ , требуется, чтобы был выполнен критерий интегрируемости Фробениуса:

Гладкая 1-форма $\omega$ , не равная нулю в $U$ , определяет слоение тогда и только тогда, когда в $U$ выполняется одно из двух эквивалентных условий

существует гладкая 1-форма $\eta$ такая что $d\omega =\eta \wedge \omega$ ,
$\omega \wedge d\omega =0$ .

В частности, всякая замкнутая 1-форма определяет слоение.

Если $U=M$ , мы имеем глобальную определяющую форму. Слоение коразмерности 1 определяется глобальной 1-формой в том и только в том случае, если оно ориентируемо, и выбор этой 1-формы приводит к выбору определенной ориентации.

Глобальная определяющая форма $\omega \neq 0$ может быть замкнутой, $d\omega =0$ , только в том случае, когда многообразие является расслоением над окружностью^[1].

Класс Годбийона — Вея

Для ориентируемых слоений коразмерности 1 определяется класс Годбийона — Вея^[2]:

Ориентируемое слоение $F$ задается глобальной формой $\omega \neq 0$ , удовлетворяющей условию интегрируемости; следовательно, существует гладкая 1-форма $\eta$ такая что $d\omega =\eta \wedge \omega$ . Классом Годбийона-Вея слоения $F$ называется когомологический класс формы $\eta \wedge d\eta$ .

На трехмерном многообразии можно определить число Годбийона — Вея, оно равно значению класса Годбийона — Вея на фундаментальном гомологическом классе.

Геометрический смысл класса Годбийона — Вея остается неясным — известные в настоящее время теоремы показывают, что слоение с нетривиальным классом Годбийона — Вея являются достаточно запутанными.

Примеры

Гладкое расслоение над одномерным многообразием
Нарезка тора $T^{2}$ на окружности или иррациональная обмотка,
Слоение Риба на сфере $S^{3}$

Наряду со слоением Риба имеются явные конструкции слоений коразмерности 1 на ряде других многообразий, в частности, на всех нечетномерных сферах $S^{2k+1}$ ^[3].

Свойства

На связном открытом многообразии такое слоение всегда существует^[4].
На замкнутом многообразии $M$ $M$ для существования слоения коразмерности 1 необходимо и достаточно, чтобы эйлерова характеристика многообразия $\chi (M)$ $\chi (M)$ была равна нулю, $\chi (M)=0$ $\chi (M)=0$ ^[5].
- В частности, это справедливо для всех нечетномерных замкнутых многообразий $M^{2k+1}$ . Для поверхности $M_{g}^{2}$ эйлерова характеристика $\chi (M_{g}^{2})=2-2g$ , поэтому среди всех двумерных поверхностей только на торе $T^{2}$ существует гладкое слоение.

Литература

И. Тамура. Топология слоений — М: Мир, 1979.

Д. Б. Фукс. Слоения — Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топол. Геом., 18, ВИНИТИ, М., 1981, 151–213

Примечания

↑ Tischler D. On fibering certain foliated manifolds over $S^{1}$ — Topology, v.9, 1970, p.153-154
↑ Godbillon C., Vey J. Un invariant des feuilletages de codimension un — C.r.Acad. sci., 1971, v.273, N2, p.92-95
↑ Lawson H.B. Foliations. — Bull. Amer. Math. Soc., 1974, v.80, N3, p.369-418
↑ Haefliger A. Feuilletages sur les varietes ouvertes. — Topology, 1970, 9, N2, 183—194
↑ Thurston W. Existence of codimension-one foliation. — Ann. Math., 1976, v.104, N2, p.249-268

Это заготовка статьи по топологии. Вы можете помочь проекту, дополнив её.

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2025
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии

[1] Tischler D. On fibering certain foliated manifolds over $S^{1}$ — Topology, v.9, 1970, p.153-154

[2] Godbillon C., Vey J. Un invariant des feuilletages de codimension un — C.r.Acad. sci., 1971, v.273, N2, p.92-95

[3] Lawson H.B. Foliations. — Bull. Amer. Math. Soc., 1974, v.80, N3, p.369-418

[4] Haefliger A. Feuilletages sur les varietes ouvertes. — Topology, 1970, 9, N2, 183—194

[5] Thurston W. Existence of codimension-one foliation. — Ann. Math., 1976, v.104, N2, p.249-268