WikiSort.ru - Не сортированное

Теорема Мореры представляет собой обращение (неполное) интегральной теоремы Коши и является одной из основных теорем теории функций комплексного переменного. Она может быть сформулирована так:

Условие теоремы можно ослабить, ограничившись требованием обращения в нуль интегралов, взятых по границе любого треугольника, принадлежащего области ${\displaystyle D}$ .

Идея доказательства

Доказательство основано на том, что функция, удовлетворяющая условиям теоремы, будет иметь первообразную в ${\displaystyle D}$ , т. е. существует такая функция ${\displaystyle F(z)}$ , что

${\displaystyle {\frac {dF(z)}{dz}}=f(z).}$

Но функция, комплексно дифференцируемая один раз, является аналитической, поэтому её производная ${\displaystyle f}$ также будет аналитической.

Применение

Теорема Мореры является основным способом доказательства аналитичности некоторой сложно определённой функции. Одним из центральных утверждений при этом является то, что если последовательность ${\displaystyle f_{n}}$ аналитичных функций равномерно сходится к функции ${\displaystyle f}$ , то

${\displaystyle \oint \lim _{n\to \infty }f_{n}(z)dz=\lim _{n\to \infty }\oint f_{n}(z)dz=0}$

поэтому, по теореме Мореры, предельная функция также будет голоморфной. Таким образом доказывается голоморфность многих функций, определённых рядами и интегралами, например, дзета-функции Римана

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$

и гамма-функции Эйлера

${\displaystyle \Gamma (\alpha )=\int \limits _{0}^{\infty }t^{\alpha -1}e^{-t}dt}$

Теорема Мореры также используется для доказательства аналитичности функции, построенной по принципу симметрии.

История

Эта теорема была получена итальянским математиком Джиачинто Морерой (итал.) в 1886 году.

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Morera’s Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.