WikiSort.ru - Не сортированное

Теорема Люрота описывает подполя поля рациональных функций от одной переменной ${\displaystyle k(x)}$ , содержащие поле констант ${\displaystyle k}$ , другими словами, подрасширения чисто трансцендентного расширения степени трансцендентности 1. Названа в честь Якоба Люрота^[en], который доказал её в 1876 году.

Формулировки

Теорема. Пусть ${\displaystyle k}$  — поле, а ${\displaystyle k(x)}$  — поле рациональных функций от одной переменной. Тогда каждое подрасширение расширения ${\displaystyle k(x)/k}$ имеет вид ${\displaystyle k(f)}$ для некоторой рациональной функции ${\displaystyle f}$ . Таким образом, оно также является полем рациональных функций от одной переменной.

В геометрических терминах теорема формулируется следующим образом:

Теорема. Пусть ${\displaystyle k}$  — поле. Пусть ${\displaystyle f:\mathbb {P} _{k}^{1}\to C}$  — непостоянный морфизм из проективной прямой в неособую кривую ${\displaystyle C}$ над ${\displaystyle k}$ . Тогда ${\displaystyle C}$ изоморфна проективной прямой.

Замечания:

• Для степени трансцендентности 2 теорема Люрота остаётся верной в характеристике 0 (теорема Кастельнуово). Более точно, пусть ${\displaystyle k}$  — алгебраически замкнутое поле характеристики 0 и ${\displaystyle L}$  — подрасширение ${\displaystyle k(x,y)/k}$ . Тогда ${\displaystyle L}$ совпадает с ${\displaystyle k}$ или изоморфно полю рациональных функций от одной или двух переменных над ${\displaystyle k}$ . Это не верно в положительной характеристике, что показывают примеры Зарисского и Сиоды^[en].
• Для степени трансцендентности 3 этот результат не верен даже над ${\displaystyle \mathbb {C} }$ .
• Теорему Люрота нетрудно доказать, используя алгебро-геометрические понятия, такие как род кривой. Тем не менее, хотя эта теорема часто воспринимается как неэлементарная, существуют короткие её доказательства, использующие лишь элементарные факты теории полей. По-видимому, все эти доказательства используют лемму Гаусса о примитивных многочленах.^[1]

Примечания