WikiSort.ru - Не сортированное

Симметризация — это процесс, который преобразует любую функцию от n переменных в симметрическую функцию от n переменных.

Антисимметризация преобразует любую функцию от n переменных в антисимметрическую функцию.

Две переменные

Пусть ${\displaystyle S}$ — множество, а ${\displaystyle A}$ — абелева группа. Если задано отображение ${\displaystyle \alpha \colon S\times S\to A}$ , ${\displaystyle \alpha }$ называется симметрическим отображением, если ${\displaystyle \alpha (s,t)=\alpha (t,s)}$ for all ${\displaystyle s,t\in S}$ .

Симметризация отображения ${\displaystyle \alpha \colon S\times S\to A}$ — это отображение ${\displaystyle (x,y)\mapsto \alpha (x,y)+\alpha (y,x)}$ .

Антисимметризация или кососимметризация отображения ${\displaystyle \alpha \colon S\times S\to A}$ — это отображение ${\displaystyle (x,y)\mapsto \alpha (x,y)-\alpha (y,x)}$ .

Сумма симметризации и антисеммитризации отображения α равна 2α. Таким образом, если кольцо допускает деление на 2 (операция, обратная удвоению), как например, вещественные числа, любую функцию можно представить как сумму симметрической и антисимметрической функций.

Симметризация симметрического отображения равносильна его удвоению, тогда как симметризация знакопеременного отображения^[en] равна нулю. Аналогично, антисимметризация симметрического отображения равна нулю, в то время как антисимметризация знакопеременного отображения равносильна его удвоению.

n переменных

В более общем случае, если дана функция от n переменных, можно её симметризовать путём взятия суммы по всем ${\displaystyle n!}$ перестановкам переменных^[1] или антисимметризовать путём взятия суммы по всем ${\displaystyle n!/2}$ чётным перестановкам и вычитания из неё суммы всех ${\displaystyle n!/2}$ нечётных перестановок (за исключением случая n ≤ 1, когда имеется единственная перестановка, так что число перестановок нечётно).

В этом случае симметризация (соответственно, антисимметризация) симметрической функции умножается на ${\displaystyle n!}$ . Таким образом, если кольцо допускает деление на ${\displaystyle n!}$ , как бывает в случае поля характеристики ${\displaystyle 0}$ или ${\displaystyle p>n}$ , это даёт проекции, если разделить на ${\displaystyle n!}$ .

В терминах теории представлений имеются подпредставления, соответствующие тривиальному и знаковому, но для случая ${\displaystyle n>2}$ существую и другие — см. Теория представления симметрической группы^[en] и Симметрический многочлен.

Бутстрэп

Если задана функция от k переменных, можно получить симметрическую функцию от n переменных путём взятия суммы над подмножествами из k переменных. В статистике это называется бутстрэпом, а ассоциированные статистики называются U-статистиками^[en].

Примечания

Литература

Ссылки

• Michiel Hazewinkel. Encyclopaedia of mathematics: an updated and annotated translation of the Soviet "Mathematical encyclopaedia". — Springer, 1990. — Т. 6. — (Encyclopaedia of Mathematics). — ISBN 978-1-55608-005-0.

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии.