WikiSort.ru - Не сортированное

Симметрическая функция от n переменных — это функция, значение которой на любом n-кортеже аргументов то же самое, что и значение на любой перестановке этого n-кортежа^[1]. Если, например, ${\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},x_{3})}$ , функция может быть симметрической на всех переменных или парах ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$ , ${\displaystyle (x_{2},x_{3})}$ или ${\displaystyle (x_{1},x_{3})}$ . Хотя это может относиться к любым функциям, для которых n аргументов имеют одну и ту же область определения, чаще всего имеются в виду многочлены, которые в этом случае являются симметрическими многочленами. Вне многочленов теория симметрических функций бедна и мало используется.

Симметризация

Если задана какая-либо функция f от n переменных со значениями в абелевой группе (то есть в группе с коммутативной операцией), симметрическая функция может быть построена путём суммирования значений f по всем перестановкам аргументов. Аналогично, антисимметрическая функция может быть построена как сумма по всем чётным перестановкам, из которой вычитается сумма по всем нечётным перестановкам. Эти операции, конечно, необратимы и могут привести к тождественно равной нулю функции для нетривиальной функции f. Единственный случай, когда f может быть восстановлена, когда известны симметризация функции и антисимметризация, это когда n = 2 и абелева группа допускает деление на 2 (операция, обратная удвоению). В этом случае f равна половине суммы симметризации и антисимметризации.

Примеры

• Рассмотрим функцию

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})}$

По определению, симметрическая функция от n переменных имеет свойство, что

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=f(x_{2},x_{1},...,x_{n})=f(x_{3},x_{1},...,x_{n},x_{n-1})}$ и т.д..

В общем случае функция остаётся той же самой при любой перестановке переменных. Это означает, что в нашем случае

${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=(x-x_{2})(x-x_{1})(x-x_{3})=(x-x_{3})(x-x_{1})(x-x_{2})}$

и так далее для всех перестановок ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$

• Рассмотрим функцию

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-r^{2}}$

Если переставить местами x и y, функция примет вид

${\displaystyle f(y,x)=y^{2}+x^{2}-r^{2}}$ ,

что в точности совпадает с исходной функцией f(x,y).

• Теперь рассмотрим функцию

${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+by^{2}-r^{2}}$

Если переставить x и y местами, получим

${\displaystyle f(y,x)=ay^{2}+bx^{2}-r^{2}.}$

Эта функция, очевидно, не будет той же самой, что и исходная, если a ≠ b, следовательно, она не симметрическая.

Приложения

См. также

• Элементарные симметричные многочлены^[en]
• Квазисимметричная функция^[en]
• Кольцо симметричных функций^[en]

Примечания

Литература

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии.