WikiSort.ru - Не сортированное

Рациональная интерполяция (интерполяция рациональными функциями) — представление интерполируемой функции ${\displaystyle f(x)}$ (точнее говоря, ряда табличных значений) в виде отношения двух полиномов. Ряд функций, плохо интерполируемых полиномиальными методами, удаётся хорошо приблизить рациональной функцией с полиномом в числителе и знаменателе^[1]. Особенно это касается функций с нерегулярным характером поведения^[2] (в частности, рациональная интерполяция хорошо подходит для функций с особыми точками^[1] и резкими изменениями^[2][3]).

По известным ${\displaystyle n}$ точкам ${\displaystyle f(x_{1})}$ , … , ${\displaystyle f(x_{n})}$ приближение к ${\displaystyle f(x)}$ ищется в виде

${\displaystyle R(x)={\frac {a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{p}x^{p}}{b_{0}+b_{1}x+\ldots +b_{q}x^{q}}}}$ , и ${\displaystyle p+q+1=n}$ ^[2].

Коэффициенты ${\displaystyle a_{i}}$ и ${\displaystyle b_{i}}$ вычисляются из набора соотношений ${\displaystyle R(x_{j})=f(x_{j})}$ , где ${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$ , которые можно записать в виде

${\displaystyle \sum _{j=1}^{p}{a_{j}x_{i}^{j}}-f(x_{i})\sum _{j=0}^{q}{b_{j}x_{i}^{j}}=0}$ , где ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ^[2].

Эти уравнения образуют систему линейных алгебраических уравнений из ${\displaystyle n}$ уравнений относительно ${\displaystyle n+1}$ неизвестных. Классическая задача интерполяции сводится к решению этой системы, однако качественное и численное исследование такой системы затруднительно^[4]. К тому же при большом количестве точек вычислить коэффициенты с большой точностью сложно — небольшой погрешности достаточно для того, чтобы полученный рациональный интерполянт не проходил через заданные точки^[5].

Запись в явном виде

В некоторых случаях ${\displaystyle R(x)}$ можно записать в явном виде (${\displaystyle n}$ нечётное и ${\displaystyle p=q}$ , либо ${\displaystyle n}$ чётное и ${\displaystyle p-q=1}$ ). Для этого вычисляются так называемые обратные разделенные разности, которые определяются условиями

${\displaystyle f^{-}(x_{l};x_{k})={\frac {x_{l}-x_{k}}{f(x_{l})-f(x_{k})}}}$

и рекуррентным соотношением

${\displaystyle f^{-}(x_{k};\ldots ;x_{l})={\frac {x_{l}-x_{k}}{f^{-}(x_{k+1};\ldots ;x_{l})-f^{-}(x_{k};\ldots ;x_{l-1})}}}$ .

В итоге интерполирующая рациональная функция записывается цепной дробью

${\displaystyle f(x)=f(x_{1})+{\frac {x-x_{1}}{f^{-}(x_{1};x_{2})+{\frac {x-x_{2}}{f^{-}(x_{1};x_{2};x_{3})+\cdots +{\frac {x-x_{n-1}}{f^{-}(x_{1};\ldots ;x_{n})}}}}}}}$ .

Алгоритмы рациональной интерполяции

Примечания

См. также

• Аппроксимация Паде