WikiSort.ru - Не сортированное

Аппроксимация Паде — классический метод рациональной аппроксимации аналитических функций, названный по имени французского математика Анри Паде. Метод заключается в представлении функции в виде отношения двух полиномов, коэффициенты которых определяются коэффициентами разложения функции в ряд Тейлора. Для разложения

${\displaystyle f(z)=c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\ldots }$

с помощью аппроксимации Паде можно оптимальным способом выбрать коэффициенты ${\displaystyle a_{i}}$ и ${\displaystyle b_{i}}$ и получить аппроксимант

${\displaystyle {\frac {a_{0}+a_{1}z+\ldots +a_{L}z^{L}}{b_{0}+b_{1}z+\ldots +b_{M}z^{M}}}.}$

Использование этой простой идеи и её обобщений привело ко многим результатам и превратилось практически в фундаментальный метод исследования.

История

Авторство Паде основывается на его диссертации 1892 года^[1] (копия диссертации хранится в библиотеке Корнеллского университета). В этой работе он изучил подобные аппроксимации и расположил их в таблицу, уделив при этом большое внимание экспоненциальной функции.

Определение

Пусть имеется разложение функции ${\displaystyle f(z)}$ в степенной ряд Тейлора:

${\displaystyle f(z)=\sum _{i=0}^{\infty }{c_{i}z^{i}}}$ ,

где ${\displaystyle c_{i}}$  — коэффициенты ряда.

Аппроксимация Паде представляет собой рациональную функцию вида

${\displaystyle [L/M]={\frac {a_{0}+a_{1}z+\ldots +a_{L}z^{L}}{b_{0}+b_{1}z+\ldots +b_{M}z^{M}}},}$

разложение которой в ряд Тейлора (с центром в нуле) совпадает с разложением функции ${\displaystyle f(z)}$ до тех пор, пока это возможно. Функция такого вида имеет ${\displaystyle L+1}$ коэффициентов в числителе и ${\displaystyle M+1}$  — в знаменателе. Весь набор коэффициентов определяется с точностью до общего множителя.

Таблица Паде

Обобщения

• Многоточечные аппроксимации Паде
• Аппроксимации Бейкера — Гаммеля
• Аппроксимация функции нескольких переменных
• Матричные аппроксимации Паде
• Аппроксимация Паде — Чебышёва
• Аппроксимация Паде — Фурье

Численные методы нахождения

Примечания

Библиография

• Jeorge A. Baker, Jr.; Peter Graves-Morris. Аппроксимации Паде = Padé approximants / пер. с англ. Е. А. Рахманова, С. П. Суетина; ред. А. А. Гончар. — М.: Мир, 1986. — 502 с. — 6400 экз.

Ссылки

• Eric W. Weisstein. Padé Approximant (англ.). «MathWorld». Проверено 1 августа 2009.
• Бочканов С., Быстрицкий В. Паде-аппроксимация (англ.) (недоступная ссылка). «Библиотека алгоритмов». Проверено 1 августа 2009. Архивировано 15 декабря 2005 года.
• Буслаев В. И. Рекуррентные соотношения и рациональные аппроксимации (неопр.). Общеинститутский семинар «Математика и её приложения» Математического института им. В. А. Стеклова РАН (17 апреля 2008). — Видеозапись. Проверено 1 августа 2009.
• Калюжный О., Коковин В. Применение аппроксимаций Паде к вибрации турбореактивного двигателя (рус.). Проверено 2012-17-12. Архивировано 29 мая 2013 года.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.