WikiSort.ru - Не сортированное

Проста́я фу́нкция в математике — это измеримая функция, заданная на некотором измеримом пространстве и принимающая конечное число значений.

Определение

Пусть ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ — измеримое пространство. Пусть ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}\in {\mathcal {F}}}$ , где ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ — конечная последовательность измеримых множеств. Тогда измеримая функция ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} (\mathbb {C} )}$ называется простой, если она имеет вид:

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\mathbf {1} }_{A_{i}}(x),x\in X}$ ,

где ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {R} (\mathbb {C} ),\mathbf {1} _{A_{i}}}$ — индикатор множества ${\displaystyle A_{i},i=1,\ldots ,n}$ .

Замечания

• Если ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})\equiv (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ — вероятностное пространство, то простая функция называется просто́й случа́йной величино́й.
• Если ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ — пространство с мерой, ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ простая, причём

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\mathbf {1} }_{A_{i}}(x),x\in X}$ ,

и ${\displaystyle \mu (A_{i})<\infty ,\forall i=1,\ldots ,n}$ , то ${\displaystyle f}$ интегрируема по Лебегу, и

${\displaystyle \int \limits _{X}f\,d\mu =\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}\,\mu (A_{i})}$ .

Пример

Пусть ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),m)}$ , где ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ — борелевская сигма-алгебра на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , а ${\displaystyle m}$ — мера Лебега. Тогда функция

${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&x>0\\0,&x=0\\-1,&x<0\end{matrix}}\right.,x\in \mathbb {R} }$

простая, ибо измерима и принимает три разных значения.