Статистические гипотезы
Определения
Пусть в (статистическом) эксперименте доступна наблюдению случайная величина
, распределение которой
полностью или частично неизвестно. Тогда любое утверждение относительно
называется статистической гипотезой. Гипотезы различают по виду предположений, содержащихся в них:
- Статистическая гипотеза, однозначно определяющая распределение
, то есть
, где
— какой-то конкретный закон, называется простой.
- Статистическая гипотеза, утверждающая принадлежность распределения
к некоторому семейству распределений, то есть вида
, где
— семейство распределений, называется сложной.
На практике обычно требуется проверить какую-то конкретную и, как правило, простую гипотезу
. Такую гипотезу принято называть нулевой. При этом параллельно рассматривается противоречащая ей гипотеза
, называемая конкурирующей или альтернативной.
Выдвинутая гипотеза нуждается в проверке, которая осуществляется статистическими методами, поэтому гипотезу называют статистической. Для проверки гипотезы используют критерии, позволяющие принять или опровергнуть гипотезу.
В большинстве случаев статистические критерии основаны на случайной выборке
фиксированного объема
для распределения
. В последовательном анализе выборка формируется в ходе самого эксперимента и потому её размер является случайной величиной (см. Последовательный статистический критерий).
Пример
Пусть дана независимая выборка
из нормального распределения, где
— неизвестный параметр. Тогда
, где
— фиксированная константа, является простой гипотезой, а конкурирующая с ней
— сложной.
Этапы проверки статистических гипотез
- Формулировка основной гипотезы
и конкурирующей гипотезы
.
- Задание уровня значимости
, на котором в дальнейшем и будет сделан вывод о справедливости гипотезы. Он равен вероятности допустить ошибку первого рода.
- Расчёт статистики
критерия такой, что:
- её величина зависит от исходной выборки
;
- по её значению можно делать выводы об истинности гипотезы
;
- статистика
, как функция случайной величины
, также является случайной величиной и подчиняется какому-то закону распределения.
- Построение критической области. Из области значений
выделяется подмножество
таких значений, по которым можно судить о существенных расхождениях с предположением. Его размер выбирается таким образом, чтобы выполнялось равенство
. Это множество
и называется критической областью.
- Вывод об истинности гипотезы. Наблюдаемые значения выборки подставляются в статистику
и по попаданию (или непопаданию) в критическую область
выносится решение об отвержении (или принятии) выдвинутой гипотезы
.
Виды критической области
Выделяют три вида критических областей:
- Двусторонняя критическая область определяется двумя интервалами
, где
находят из условий
.
- Левосторонняя критическая область определяется интервалом
, где
находят из условия
.
- Правосторонняя критическая область определяется интервалом
, где
находят из условия
.
Примечания
- 1 2 Ивановский Р. Теория вероятностей и математическая статистика. Основы, прикладные аспекты с примерами и задачами в среде Mathcad. — 528 с. — (Учебное пособие). — ISBN 978-5-9775-0199-.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .