WikiSort.ru - Не сортированное

Механика Ньютона

Используя второй закон Ньютона, можно найти, что воздействие тела 2 на тело 1 задаётся силой

${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=m_{1}\mathbf {a} _{1}.}$

Тело 1 оказывает влияние на тело 2 посредством силы

${\displaystyle \mathbf {F} _{21}=m_{2}\mathbf {a} _{2}.}$

В силу третьего закона Ньютона эти две силы равны и противоположны по направлению:

${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}.}$

Таким образом, имеем

${\displaystyle m_{1}\mathbf {a} _{1}=-m_{2}\mathbf {a} _{2}}$

или

${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=-{m_{1} \over m_{2}}\mathbf {a} _{1}.}$

Тогда относительное ускорение между двумя телами будет даваться выражением

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}=\left({1+{m_{1} \over m_{2}}}\right)\mathbf {a} _{1}={{m_{2}+m_{1}} \over {m_{1}m_{2}}}m_{1}\mathbf {a} _{1}={\mathbf {F} _{12} \over \mu }.}$

Тогда можно заключить, что тело 1 двигается относительно положения тела 2 (и в поле силового воздействия тела 2) как тело с массой, равной приведённой массе ${\displaystyle \mu }$ .

Механика Лагранжа

Задачу двух тел также можно описывать в лагранжевом подходе. Функция Лагранжа представляет собой разность кинетической и потенциальной энергий. В данной задаче это

${\displaystyle L={1 \over 2}m_{1}\mathbf {\dot {r}} _{1}^{2}+{1 \over 2}m_{2}\mathbf {\dot {r}} _{2}^{2}-V(|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|)}$

где ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$  — радиус-вектор i-ой частицы с массой ${\displaystyle m_{i}}$ . Потенциальная энергия зависит от расстояния между частицами. Определим вектор

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}$ ,

и пусть центр масс задаёт систему отсчёта

${\displaystyle m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}=0}$ .

Тогда вектора положений масс ${\displaystyle m_{i}}$ переопределяются как

${\displaystyle \mathbf {r} _{1}={\frac {m_{2}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}},\,\,\mathbf {r} _{2}={\frac {-m_{1}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}}.}$

Тогда новую функцию Лагранжа можно переписать в виде

${\displaystyle L={1 \over 2}\mu \mathbf {\dot {r}} ^{2}-V(r),}$

откуда видно, что задача двух тел редуцировалась в задачу движения одного тела.