WikiSort.ru - Не сортированное

Преобразование координат — замена системы координат на плоскости, в пространстве или, в самом общем случае, на заданном ${\displaystyle n}$ -мерном многообразии.

Пример перехода от полярных координат ${\displaystyle \{r,\varphi \}}$ к декартовым ${\displaystyle \{x,y\}}$ на евклидовой плоскости:

${\displaystyle {\begin{cases}x=r\cos \varphi \\y=r\sin \varphi \end{cases}}}$

Чаще всего преобразование координат производится для перехода к более простой или более удобной для анализа математической модели. Например, уравнения некоторых плоских кривых в полярных координатах существенно проще, чем в декартовых, а для исследования осесимметричных тел удобно направить одну из осей координат вдоль оси симметрии.

Определение и классификация

Преобразование координат — совокупность правил^[1], ставящих в соответствие каждому набору координат ${\displaystyle \{x_{1},x_{2}\dots x_{n}\}}$ на некотором ${\displaystyle n}$ -мерном многообразии другой набор координат ${\displaystyle \{x_{1}',x_{2}'\dots x_{n}'\}}$ :

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}'=x_{1}'(x_{1},x_{2},\dots x_{n})\\x_{2}'=x_{2}'(x_{1},x_{2},\dots x_{n})\\\dots \\x_{n}'=x_{n}'(x_{1},x_{2},\dots x_{n})\end{cases}}}$

При этом после преобразования должно сохраняться однозначное соответствие между точками многообразия и наборами координат (допускаются исключения для некоторых особых точек).

Это преобразование может трактоваться двояко^[2].

1. Пассивная точка зрения — происходит смена координат точек многообразия. Все точки при этом остаются на своих местах.
2. Активная точка зрения — преобразование ставит в соответствие каждой точке многообразия другую точку. Система координат при этом не меняется.

Пример для евклидовой плоскости:

${\displaystyle {\begin{cases}x'=x+1\\y'=y\end{cases}}}$

Данное преобразование можно истолковать одним из двух способов.

1. Смена системы координат, которая увеличивает абсциссы всех точек на 1.
2. Перенос всех точек плоскости на 1 параллельно оси ${\displaystyle x.}$

Сводку основных формул преобразования для практически важных координатных систем см. в статье Система координат.

По типу формул все преобразования координат можно сгруппировать в разнообразные классы — например, выделить вращения, линейные преобразования, преобразования, сохраняющие длины и т. д. Обычно выделенный класс является группой преобразований в смысле общей алгебры, то есть композиция двух преобразований относится к тому же классу и для каждого преобразования существует обратное.

Инварианты

Инвариантом данного преобразования координат называется функция координат, значения которой после преобразования не меняются^[3]. Например, вращения и переносы не меняют расстояния между точками евклидова пространства. Инварианты являются важной характеристикой группы преобразований.

См. также

• Вектор (геометрия)
• Инвариант (математика)
• Преобразования Галилея
• Преобразования Лоренца
• Тензор
• Эрлангенская программа

Литература

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — изд. 13-е. — М.: Наука, 1986. — 544 с.
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.
• Яглом И. М. Геометрические преобразования. Тома 1, 2. — М.: Гостехиздат, 1956, 612 с.

Ссылки

• Заславский А. А. Геометрические преобразования.

Примечания