WikiSort.ru - Не сортированное

В математике после́довательность жонглёра - целочисленная последовательность, начинающаяся с натурального числа a₀, в которой каждый следующий элемент определяется следующим рекуррентным соотношением:

${\displaystyle a_{k+1}={\begin{cases}\left\lfloor a_{k}^{\frac {1}{2}}\right\rfloor ,&{\mbox{if }}a_{k}{\mbox{ is even}}\\\\\left\lfloor a_{k}^{\frac {3}{2}}\right\rfloor ,&{\mbox{if }}a_{k}{\mbox{ is odd}}\end{cases}}}$ ^[1]

Общие сведения

Последовательности жонглера были открыты американским математиком и автором Клиффордом А. Пиковером (англ.)русск.^[2][3]. Например, последовательность жонглёра для a₀ = 3:

${\displaystyle a_{1}=\lfloor 3^{\frac {3}{2}}\rfloor =\lfloor 5,196\dots \rfloor =5,}$

${\displaystyle a_{2}=\lfloor 5^{\frac {3}{2}}\rfloor =\lfloor 11,180\dots \rfloor =11,}$

${\displaystyle a_{3}=\lfloor 11^{\frac {3}{2}}\rfloor =\lfloor 36,482\dots \rfloor =36,}$

${\displaystyle a_{4}=\lfloor 36^{\frac {1}{2}}\rfloor =\lfloor 6\rfloor =6,}$

${\displaystyle a_{5}=\lfloor 6^{\frac {1}{2}}\rfloor =\lfloor 2,449\dots \rfloor =2,}$

${\displaystyle a_{6}=\lfloor 2^{\frac {1}{2}}\rfloor =\lfloor 1,414\dots \rfloor =1.}$

Если последовательность жонглёра достигает 1, то все её последующие значения равны 1. Предполагается, что все последовательности жонглёра, в конечном счете, достигают 1. Эта гипотеза была проверена для начальных значений (a₀) до 10^6[4], но не доказана. Гипотеза жонглера, таким образом, представляет собой проблему, похожую на проблему Коллатца, о которой Пол Эрдёш сказал, что "математика ещё не готова для таких задач". Для заданного начального числа a₀, l(a₀) определяется как номер первого равного единице элемента, а h(a₀) - как максимальное значение в этой последовательности. Для малых значений a₀ получаем:

Элементы последовательности жонглёра могут достигать очень больших значений. Например, последовательность жонглёра, начинающаяся с a₀ = 37, достигает максимального значения 24 906 114 455 136. Последовательность жонглёра для a₀ = 48443 достигает максимального значения, которое содержит 972 463 цифры, в 60-м элементе, а 1 достигается на 157-м элементе последовательности^[5].

См. также

• Гипотеза Коллатца
• Открытые проблемы в теории чисел
• Открытые математические проблемы

Примечания

Литература

• Pickover, Clifford A. Computers and the Imagination. — St. Martin's Press, 1992. — ISBN 978-0-312-08343-4.
• Pickover, Clifford A. The Mathematics of Oz. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 978-0-521-01678-0.
• Weisstein, Eric W. Juggler Sequence (англ.). MathWorld. Проверено 19 июня 2012.
• Letter from Harry J. Smith to Cliiford A. Pickover (англ.) (27 June 1992). Проверено 19 июня 2012. Архивировано 27 октября 2009 года.