WikiSort.ru - Не сортированное

Поверхность Цолля — 2-мерная сфера, с римановой метрикой для которой все геодезические являются замкнутыми и имеют одинаковую длину.

Названы в честь Отто Цолля, ученика Давида Гильберта, обнаружившего первые нетривиальные примеры.^[1]

Примеры

Обычная сфера, очевидно, обладает этим свойством, но существует также имеет бесконечномерное семейство деформаций этой метрики, называемых поверхностями Цолля. Из следующего утверждения следует существуют примеры поверхностей Цолля среди поверхностей вращения:^[2]

• Пусть ${\displaystyle h\colon [-1,1]\to (-1,1)}$ есть нечётной гладкая функция, такая, что ${\displaystyle h(1)=0}$ . Тогда сфера с метрикой

  ${\displaystyle (1+h(\cos r))\cdot (dr)^{2}+\sin r\cdot (d\theta )^{2}}$

заданной в полярных координатах ${\displaystyle (r,\theta )}$ есть поверхность Цолля.

Результат следует из существования явных интегралов геодезического потока для таких метрик.

Следующий результат даёт не симметричные примеры:^[3]

• Для любой нечётной гладкой функции ${\displaystyle f}$ на единичной сфере ${\displaystyle (\mathbb {S} ^{2},g_{0})}$ существуют однопараметрическое семейство кнформных факторов ${\displaystyle \phi _{t}}$ таких, что ${\displaystyle g_{t}=\phi _{t}\cdot g_{0}}$ есть поверхность Цолля и ${\displaystyle f={\tfrac {\partial \phi _{t}}{\partial t}}|_{t=0}}$ .

В доказательстве применяется обобщённая теорема о неявной функции, так называемая теорема Нэша — Мозера^[en].

См. также

• Гипотеза Бляшке

Литература

• Вильгельм Бляшке «Круг и шар», М.: Наука, 1967

Примечания