WikiSort.ru - Не сортированное

С неподвижной точкой опоры

Уравнение движения аналогично прямому маятнику за исключением того, что знак углового положения, измеряется от вертикальной позиции неустойчивого равновесия:

${\displaystyle {\ddot {\theta }}-{g \over \ell }\sin \theta =0}$

При переносе, он будет иметь тот же знак углового ускорения:

${\displaystyle {\ddot {\theta }}={g \over \ell }\sin \theta }$

Таким образом, обратный маятник будет ускоряться от вертикального неустойчивого равновесия в противоположную сторону, а ускорение будет обратно пропорционально длине. Высокий маятник падает медленнее, чем короткий.

Маятник на тележке

Уравнения движения могут быть получены с использованием уравнений Лагранжа. Речь идёт об приведённом выше рисунке, где ${\displaystyle \theta (t)}$ угол маятника длиной ${\displaystyle l}$ по отношению к вертикали и действующей силе гравитации и внешних сил ${\displaystyle F}$ в направлении ${\displaystyle x}$ . Определим ${\displaystyle x(t)}$ положение тележки. Лагранжиан ${\displaystyle L=T-V}$ системы:

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}Mv_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-mg\ell \cos \theta }$

где ${\displaystyle v_{1}}$ является скоростью тележки, а ${\displaystyle v_{2}}$ - скорость материальной точки ${\displaystyle m}$ . ${\displaystyle v_{1}}$ и ${\displaystyle v_{2}}$ может быть выражена через ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle \theta }$ путём записи скорости как первой производной положения.

${\displaystyle v_{1}^{2}={\dot {x}}^{2}}$

${\displaystyle v_{2}^{2}=\left({\frac {d}{dt}}{\left(x-\ell \sin \theta \right)}\right)^{2}+\left({\frac {d}{dt}}{\left(\ell \cos \theta \right)}\right)^{2}}$

Упрощение выражения ${\displaystyle v_{2}}$ приводит к:

${\displaystyle v_{2}^{2}={\dot {x}}^{2}-2\ell {\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}}$

Лагранжиан теперь определяется по формуле:

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}\left(M+m\right){\dot {x}}^{2}-m\ell {\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta +{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}-mg\ell \cos \theta }$

и уравнения движения:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\partial {L} \over \partial {\dot {x}}}-{\partial {L} \over \partial x}=F}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\partial {L} \over \partial {\dot {\theta }}}-{\partial {L} \over \partial \theta }=0}$

Подстановка ${\displaystyle L}$ в эти выражения с последующим упрощением приводит к уравнениям, описывающим движение обратного маятника:

${\displaystyle \left(M+m\right){\ddot {x}}-m\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta +m\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta =F}$

${\displaystyle \ell {\ddot {\theta }}-g\sin \theta ={\ddot {x}}\cos \theta }$

Эти уравнения являются нелинейными, но, поскольку цель системы управления - удерживать маятник вертикально, то уравнения можно линеаризовать, приняв ${\displaystyle \theta \approx 0}$ .

Маятник с колеблющимся основанием

Уравнение движения для такого маятника связано с безмассовой осциллирующей базой и получено так же, как для маятника на тележке. Положение материальной точки определяется по формуле:

${\displaystyle \left(-\ell \sin \theta ,y+\ell \cos \theta \right)}$

и скорость найдена через первую производную позиции:

${\displaystyle v^{2}={\dot {y}}^{2}-2\ell {\dot {y}}{\dot {\theta }}\sin \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}.}$

Лагранжиан для этой системы можно записать в виде:

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}m\left({\dot {y}}^{2}-2\ell {\dot {y}}{\dot {\theta }}\sin \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)-mg\left(y+\ell \cos \theta \right)}$

уравнения движения следуют из:

${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\partial {L} \over \partial {\dot {\theta }}}-{\partial {L} \over \partial \theta }=0}$

в результате:

${\displaystyle \ell {\ddot {\theta }}-{\ddot {y}}\sin \theta =g\sin \theta .}$

Если y колеблется в соответствии с простыми гармоническими колебаниями, ${\displaystyle y=A\sin \omega t}$ , то получаем дифференциальное уравнение:

${\displaystyle {\ddot {\theta }}-{g \over \ell }\sin \theta =-{A \over \ell }\omega ^{2}\sin \omega t\sin \theta .}$

Это уравнение не имеет элементарного решения в замкнутом виде, но может быть изучено во множестве направлений. Оно близкого к уравнению Матье, например, когда амплитуда колебаний мала. Анализ показывает, что маятник остается в вертикальном положении при быстрых колебаниях. Первый график показывает, что при медленно колеблющимся ${\displaystyle y}$ , маятник быстро падает, после выхода из устойчивого вертикального положения.
Если ${\displaystyle y}$ быстро колеблется, то маятник может быть стабилен около вертикальной позиции. Второй график показывает, что, после выхода из устойчивого вертикального положения, маятник теперь начинается колебаться вокруг вертикальной позиции (${\displaystyle \theta =0}$ ).Отклонение от вертикального положения остается мало, и маятник не падает.