Определение
Пусть
— выборка из распределения, зависящего от параметра
. Тогда оценка
называется несмещённой, если
-
,
где
В противном случае оценка называется смещённой, и случайная величина
называется её смеще́нием.
Примеры
- Выборочное среднее
является несмещённой оценкой математического ожидания
, так как если
,
, то
.
- Пусть независимые случайные величины
имеют конечную дисперсию
. Построим оценки
-
— выборочная дисперсия,
и
-
— исправленная выборочная дисперсия.
Тогда
является смещённой, а
несмещённой оценками параметра
. Смещённость
можно доказать следующим образом.
Пусть
и
— среднее и его оценка соответственно, тогда:
-
Добавив и отняв
, а затем сгрупировав слагаемые, получим:
-
Возведём в квадрат и получим:
-
Заметив, что
, получим:
-
Учитывая, что
-
(свойство математического ожидания);
-
— дисперсия;
-
, т.к.
, учитывая, что
и
независимые и
, т.е.
,
получим:
-
Литература и некоторые ссылки
- M. G. Kendall. "The advanced theory of statistics (vol. I). Distribution theory (2nd edition)". Charles Griffin & Company Limited, 1945.
- M. G. Kendall and A. Stuart. "The advanced theory of statistics (vol. II). Inference and relationship (2nd edition)". Charles Griffin & Company Limited, 1967.
- A. Papoulis. Probability, random variables, and stochastic processes (3rd edition). McGrow-Hill Inc., 1991.
- G. Saporta. "Probabilités, analyse des données et statistiques". Éditions Technip, Paris, 1990.
- J. F. Kenney and E. S. Keeping. Mathematics of Statistics. Part I & II. D. Van Nostrand Company, Inc., 1961, 1959.
- I. V. Blagouchine and E. Moreau: "Unbiased Adaptive Estimations of the Fourth-Order Cumulant for Real Random Zero-Mean Signal", IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 57, no. 9, pp. 3330–3346, September 2009.
- An Illuminating Counterexample
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .