WikiSort.ru - Не сортированное

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 21 февраля 2017 года.

Топологическая семантика является естественной семантикой для неклассических логик, таких как интуиционистская логика и модальная логика. Исторически топологическая семантика появилась раньше более распространенной на данной момент семантики Крипке. Основы топологической семантики были заложены в работах Куратовского.

Топологическая семантика для модальной логики

Пусть ${\displaystyle X}$ — топологическое пространство, топологической моделью называется пара ${\displaystyle M=(X,V)}$ , где ${\displaystyle V}$ — это оценка, которая каждой переменной ставит в соответствие множество точек топологического пространства, в которых эта переменная считается истинной. А именно, ${\displaystyle V:Var\to 2^{X}}$ , где ${\displaystyle Var}$ — множество пропозициональных переменных. Истинность модальной формулы ${\displaystyle A}$ в точке ${\displaystyle x}$ топологической модели определяется индукцией по длине формулы:

${\displaystyle M,x\models p}$
, если  ${\displaystyle x\in V(p)}$

${\displaystyle M,x\not \models \perp }$

${\displaystyle M,x\models \lnot A}$
, если ${\displaystyle M,x\not \models A}$

${\displaystyle M,x\models A\land B}$
, если ${\displaystyle M,x\models A}$
 и ${\displaystyle M,x\models B}$

${\displaystyle M,x\models A\lor B}$
, если ${\displaystyle M,x\models A}$
 или ${\displaystyle M,x\models B}$

${\displaystyle M,x\models A\to B}$
, если ${\displaystyle M,x\not \models A}$
 или ${\displaystyle M,x\models B}$

${\displaystyle M,x\models \Box A}$
, если существует окрестность ${\displaystyle U}$
 точки ${\displaystyle x}$
, такая что ${\displaystyle \forall y:(y\in U\Rightarrow M,y\models A)}$

Формула называется общезначимой в топологической модели, если она истинна во всех точках модели.

Формула называется общезначимой в топологическом пространстве, если она общезначима во всех моделях в этом пространстве.

Благодаря свойствам топологических пространств в любой топологической моделе наряду с аксиомой нормальности общезначимы следующие формулы:

${\displaystyle \Box p\to p}$

${\displaystyle \Box p\to \Box \Box p}$

Для шкал Крипке эти формулы, соответственно, задают рефлексивность и транзитивность отношения. Наименьшая нормальная модальная логика, содержащая эти формулы, называется S4.

Связь с семантикой Крипке

Пусть ${\displaystyle F=(W,R)}$ - шкала Крипке, такая что ${\displaystyle R}$ - транзитивное и рефлексивное отношение (т.е.${\displaystyle F}$ является предпорядком). На шкале ${\displaystyle F}$ можно естественным образом определить топологическое пространство ${\displaystyle Top(F)}$ . Базой топологии этого пространства являются множества вида

${\displaystyle R(x)=\{y\;|\;xRy\}}$
.

Другими словами, в ${\displaystyle Top(F)}$ открытыми считаются все такие множества ${\displaystyle U\subseteq W}$ для которых верно, что

${\displaystyle x\in U\land xRy\Rightarrow y\in U}$
.

Для любой точки, для любой оценки и любой формулы верно, что

${\displaystyle F,V,x\models A\iff Top(F),V,x\models A}$