WikiSort.ru - Не сортированное

Прямой ход (алгоритм образования нулей под главной диагональю)

• Разделим первую строку матрицы А на ${\displaystyle a_{11}}$ получим: ${\displaystyle a_{1j}^{1}={\frac {a_{1j}}{a_{11}}}}$ , j — столбец матрицы А.
• Повторяем действия для матрицы I, по формуле: ${\displaystyle b_{1s}^{1}={\frac {b_{1s}}{a_{11}}}}$ , s — столбец матрицы I

Получим:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&a_{12}^{1}&\cdots &a_{1n}^{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}\qquad I={\begin{pmatrix}b_{11}^{1}&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{pmatrix}}}$

• Будем образовывать 0 в первом столбце : ${\displaystyle a_{2j}^{1}=a_{2j}-a_{1j}^{1}a_{21}\ ,\dots ,\ a_{nj}^{1}=a_{nj}-a_{1j}^{1}a_{n1}}$
• Повторяем действия для матрицы І, по формулам : ${\displaystyle b_{2s}^{1}=b_{2s}-b_{1s}^{1}a_{21}\ ,\dots ,\ b_{ns}^{1}=b_{ns}-b_{1s}^{1}a_{n1}}$

Получим:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&a_{12}^{1}&\cdots &a_{1n}^{1}\\0&a_{22}^{1}&\cdots &a_{2n}^{1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&a_{2n}^{1}&\cdots &a_{nn}^{1}\end{pmatrix}}\qquad I={\begin{pmatrix}b_{11}^{1}&0&\cdots &0\\b_{21}^{1}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n1}^{1}&0&\cdots &1\end{pmatrix}}}$

• продолжаем выполнять аналогичные операции, используя формулы : ${\displaystyle a_{ij}^{k}={\frac {a_{ij}^{k}}{a_{ii}}}\qquad a_{ij}^{k}=a_{ij}^{k-1}-a_{kj}^{k}a_{ik}^{k-1}}$

при условии, что ${\displaystyle k=1\rightarrow n,i=k+1\rightarrow n,j=1\rightarrow n}$

• Повторяем действия для матрицы І, по формулам : ${\displaystyle b_{ik}^{k}={\frac {b_{ik}^{k}}{a_{ii}}}\qquad b_{is}^{k}=b_{is}^{k-1}-b_{ks}^{k}a_{ik}^{k-1}}$

при условии, что ${\displaystyle k=1\to n,\;i=k+1\to n,\;s=1\to n}$

Получим :

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&a_{12}^{1}&\cdots &a_{1n}^{1}\\0&1&\cdots &a_{2n}^{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{pmatrix}}\qquad I={\begin{pmatrix}b_{11}^{1}&0&\cdots &0\\b_{21}^{2}&b_{22}^{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n1}^{n}&b_{n2}^{n}&\cdots &b_{nn}^{n}\end{pmatrix}}}$

Обратный ход (алгоритм образования нулей над главной диагональю)

Используем формулу: ${\displaystyle a_{ij}^{k-1}=a_{ij}^{k-1}-a_{ij}^{k}a_{ik}^{i}}$ , при условии, что ${\displaystyle k=n\to 1,\;i=1\to k-1,\;j=1\to n}$

Повторяем действия для матрицы І, по формуле : ${\displaystyle b_{is}^{k-1}=b_{is}^{k-1}-b_{is}^{k}a_{ik}^{i}}$ , при условии, что ${\displaystyle k=n\to 1,\;i=1\to k-1,\;s=1\to n}$

Окончательно получаем :

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{pmatrix}}\qquad I=A^{-1}}$