WikiSort.ru - Не сортированное

Метод итерации — численный метод решения математических задач, приближённый метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Суть такого метода заключается в нахождении по приближённому значению величины следующего приближения (являющегося более точным). Метод позволяет получить значения корней системы с заданной точностью в виде предела последовательности некоторых векторов(итерационный процесс). Характер сходимости и сам факт сходимости метода зависит от выбора начального приближения корня x₀.

Описание метода

Пусть дана СЛАУ вида: ${\displaystyle AX=B}$ , где:
${\displaystyle \mathrm {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}};\qquad \mathrm {X} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}};\qquad \mathrm {B} ={\begin{bmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}}$

Предполагая, что ${\displaystyle a_{ii}}$ не равно 0, ${\displaystyle i={\overline {1,n}}}$ . Выразим ${\displaystyle x_{1}}$ через первое уравнение, ${\displaystyle x_{2}}$  — через второе и т. д. ${\displaystyle \left\{{\begin{array}{c}x_{1}={\frac {b_{1}}{a_{11}}}-{\frac {a_{12}}{a_{11}}}x_{2}-\cdots -{\frac {a_{1n}}{a_{11}}}x_{n}\\\vdots \\x_{n}={\frac {b_{n}}{a_{nn}}}-{\frac {a_{n1}}{a_{nn}}}x_{1}-{\frac {a_{n2}}{a_{nn}}}x_{2}-\cdots -{\frac {a_{n,n-1}}{a_{nn}}}x_{n-1}\end{array}}\right.}$
Обозначим:

${\displaystyle {\frac {b_{i}}{a_{ii}}}=\beta _{i};-{\frac {a_{ij}}{a_{ii}}}=\alpha _{ij}}$ , ${\displaystyle i={\overline {1,n}}}$ , ${\displaystyle j={\overline {1,n}}}$
${\displaystyle \alpha ={\begin{bmatrix}\alpha _{11}&\cdots &\alpha _{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\alpha _{n1}&\cdots &\alpha _{nn}\end{bmatrix}};\qquad \beta ={\begin{bmatrix}\beta _{1}\\\vdots \\\beta _{n}\end{bmatrix}}}$
В матричном виде получим: ${\displaystyle X=\beta +\alpha x}$

За нулевое приближение примем столбец свободных членов.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}^{(0)}\\\vdots \\x_{n}^{(0)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\beta _{1}\\\vdots \\\beta _{n}\end{bmatrix}}}$  — нулевое приближение;

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}^{(1)}\\\vdots \\x_{n}^{(1)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\beta _{1}\\\vdots \\\beta _{n}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\alpha _{11}&\cdots &\alpha _{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\alpha _{n1}&\cdots &\alpha _{nn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}^{(0)}\\\vdots \\x_{n}^{(0)}\end{bmatrix}}}$  — первое приближение;

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}^{(2)}\\\vdots \\x_{n}^{(2)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\beta _{1}\\\vdots \\\beta _{n}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\alpha _{11}&\cdots &\alpha _{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\alpha _{n1}&\cdots &\alpha _{nn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}^{(1)}\\\vdots \\x_{n}^{(1)}\end{bmatrix}}}$  — второе приближение и т. д.;

${\displaystyle X^{(k)}=\beta +\alpha X^{(k-1)}}$ , ${\displaystyle k=1,2,\dots }$

${\displaystyle X=\lim _{k\to \infty }X^{(k)}}$  — решение системы.

Условия сходимости процесса

Метод итерации применяют в случае, если сходится последовательность приближений по указанному алгоритму . Условия сходимости : ${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\vert \alpha _{ij}\vert <1}$ (где ${\displaystyle i=1,2,\dots ,n}$ ) или ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\vert \alpha _{ij}\vert <1}$ (где ${\displaystyle j=1,2,\dots ,n}$ ).

Оценка погрешности

${\displaystyle \Vert x_{i}-x_{i}^{(k)}\Vert \leq {\frac {\Vert \alpha \Vert ^{k+1}\Vert \beta \Vert }{1-\Vert \alpha \Vert }}\leq \varepsilon }$ , где ${\displaystyle \varepsilon }$ -точность, ${\displaystyle x_{i}}$  — вектор точных значений.

${\displaystyle \Vert \alpha \Vert }$  — одна из трёх норм матрицы ${\displaystyle \alpha }$ , ${\displaystyle \Vert \beta \Vert }$  — одна из трёх норм матрицы ${\displaystyle \beta }$ .

Для улучшения этой статьи желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.