Меандр или замкнутый меандр — это замкнутая кривая без самопересечений, которая пересекает прямую несколько раз. Интуитивно, меандр можно рассматривать как дорогу, пересекающую реку мостами в нескольких местах.
Если задана ориентированная прямая L на плоскости R2, меандр порядка n — это замкнутая кривая без самопересечений на R2, которая поперечно пересекает прямую в 2n точках для некоторого положительного n. Прямая и кривая вместе образуют меандровую систему. Говорят, что два меандра эквивалентны, если существует гомеоморфизм всей плоскости, которая переводит L в себя, а один меандр в другой.
Меандр порядка 1 пересекает прямую дважды:
Число различных меандров порядка n называется меандровым числом Mn. Первые пятнадцать меандровых чисел (последовательность A005315 в OEIS).
Меандровая перестановка порядка n задаётся на множестве {1, 2, ..., 2n} и определяется меандровой системой следующим образом:
На диаграмме справа меандрическая перестановка порядка 4 задаётся перестановкой (1 8 5 4 3 6 7 2). Это перестановка, записанная в циклической нотации и не следует путать с линейной нотацией.
Если π является меандровой перестановкой, то π2 состоит из двух циклов, одна содержит все чётные элементы, другая — все нечётные. Перестановки с такими свойствами называется чередующимися перестановками. Однако не все чередующиеся перестановки являются меандровыми, поскольку кривые для некоторых перестановок нельзя нарисовать без самопересечений. Например, чередующаяся перестановка порядка 3 (1 4 3 6 5 2) меандровой не является.
Если задана фиксированная ориентированная прямая L на плоскости R2, открытый меандр порядка n — это ориентированная кривая без самопересечений на R2, которая пересекает прямую в n точках для некоторого положительного целого числа n. Говорят, что два открытых меандра эквивалентны, если они гомеоморфны на плоскости.
Открытый меандр порядка 1 пересекает прямую один раз:
Открытый меандр порядка 2 пересекает прямую дважды:
Число различных открытых меандров порядка n называется открытым меандровым числом mn. Первые пятнадцать открытых меандровых чисел (последовательность A005316 в OEIS).
Если дан ориентированный луч R на плоскости R2, полумеандр порядка n — — это непересекающаяся кривая в R2, которая пересекает луч в n точках для некоторого положительного n. Говорят, что два полумендра эквивалентны, если они гомеоморфны на плоскости.
Полумеандр порядка два пересекает луч дважды:
Количество различных полумеандровых чисел порядка n называется полумеандровым числом Mn (обычно обозначается надчёркиванием, а не подчёркиванием). Первые пятнадцать полумеандровых чисел (последовательность A000682 в OEIS).
Существует инъекция из меандровых чисел в открытые меандровые числа:
Любое меандровое число может быть ограничены полумеандровыми числами:
Для n > 1 меандрические числа чётны:
Для улучшения этой статьи желательно: |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .