WikiSort.ru - Не сортированное

Дополнительные предположения

• Выборки ${\displaystyle x_{1}^{n_{1}},...,x_{k}^{n_{k}}}$ являются нормальными. Критерий Бартлетта очень чувствителен к отклонениям от нормальности распределения исследуемых случайных величин. Если нет уверенности в нормальности распределения, им не рекомендуется пользоваться. А при одинаковом объёме всех выборок вместо критерия Бартлетта лучше применять критерий Кохрена.

Нулевая гипотеза

Критерий Бартлетта проверяет гипотезу ${\displaystyle H_{0}}$ о том, что дисперсии всех ${\displaystyle k}$ выборок одинаковы.

${\displaystyle H_{0}:\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=...=\sigma _{k}^{2}}$

Альтернативная гипотеза ${\displaystyle H_{1}}$ : существует, по крайней мере, две выборки ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ (${\displaystyle i\neq j}$ ) с несовпадающими дисперсиями.

${\displaystyle H_{1}:\sigma _{i}^{2}\neq \sigma _{j}^{2}}$ (для некоторых ${\displaystyle i\neq j}$ ).

Статистика критерия Бартлетта

Статистика критерия Бартлетта вычисляется в соответствии с соотношением:

${\displaystyle T={\frac {M}{c}}}$ .

Здесь

${\displaystyle M=(N-k)\cdot \ln(s_{p}^{2})-\sum _{i=1}^{k}(n_{i}-1)\cdot \ln(s_{i}^{2})}$ ,

${\displaystyle c=1+{\frac {1}{3\cdot (k-1)}}\cdot \left(\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {1}{n_{i}-1}}\right)-{\frac {1}{(N-k)}}\right)}$ ,

где ${\displaystyle N=\sum _{i=1}^{k}n_{i}}$ и ${\displaystyle s_{p}^{2}={\frac {1}{N-k}}\sum _{i=1}^{k}(n_{i}-1)\cdot s_{i}^{2}}$  — суммарная оценка дисперсий,

${\displaystyle s_{i}^{2}={\frac {1}{n_{i}-1}}\sum \limits _{j=1}^{n_{i}}\left(X_{ji}-{\bar {X_{i}}}\right)^{2}}$ ,

${\displaystyle {\bar {X_{i}}}={\frac {1}{n_{i}}}\sum _{j=1}^{n_{i}}\mathrm {X} _{ji}}$ .

При ${\displaystyle n_{i}>3\;(i=1,...,k)}$ и справедливости нулевой гипотезы статистика критерия Бартлетта имеет распределение ${\displaystyle \chi _{k-1}^{2}}$ хи-квадрат с (k-1) степенями свободы.

Критерий (при уровне значимости ${\displaystyle \alpha }$ )

Если ${\displaystyle T>\chi _{k-1,\alpha }^{2}}$ , то с достоверностью ${\displaystyle \alpha }$ нулевая гипотеза ${\displaystyle H_{0}}$ отвергается в пользу альтернативы ${\displaystyle H_{1}}$ . Здесь ${\displaystyle \chi _{k-1,\alpha }^{2}}$  — квантиль распределения хи-квадрат с (k-1) степенями свободы.

Примечание

При отклонении от нормальности рекомендуется вместо статистики ${\displaystyle T}$ пользоваться её модификацией:

${\displaystyle T^{*}={\frac {f_{2}\cdot M}{f_{1}\cdot \left({\frac {f_{2}^{2}}{f_{2}(2-c)+c}}-M\right)}}}$ ,

где ${\displaystyle f_{1}=k-1}$ , ${\displaystyle f_{2}={\frac {k+1}{(c-1)^{2}}}}$ .

Статистика ${\displaystyle T^{*}}$ имеет ${\displaystyle F}$ -распределение с ${\displaystyle f_{1}}$ и ${\displaystyle f_{2}}$ степенями свободы. Поэтому нулевую гипотезу следует отклонить, если ${\displaystyle T^{*}>F_{\alpha }(f_{1},f_{2})}$ .